LI i , j Li
X + [JL + V + . . . = /l.
On en déduit
en posant, pour abréger,
Les fonctions U(zi — >^)^~S V admettent donc comme points critiques le point x et les racines «, 6, ... de l'équation Q = o et se reproduisent multipliées par e-'^'^, ^2TOa,^ e-^^^i, . . . lorsque l'on tourne autour de ces divers points.
Cela posé, soit O un point quelconque du plan. Joignonsle aux points a, 6, . . . , x par des lacets A, B, . . . , X: soient A, B, . . . , X les valeurs de l'intégrale /U(?^ — ^)^~* du prise dans le sens direct le long de ces divers contours avec une détermination initiale donnée M de la fonction à intégrer. On pourra prendre pour ligne d'intégration L l'un quelconque des contours suivants : ABA~' B~*, . . . , AXA-'X-', . . .; car, si l'on décrit le contour ABA~'B~*, par exemple, la fonction V se reproduira, au retour, multipliée par
^2Ti/a, g27:/p, e-27i/a. g-sui^ , ~
ÉQUATIONS LINÉAIRES. 2t\3
La valeur [AB] de l'intégrale prise suivant le contour ABA~<B~* est donc une solution de l'équation proposée. Il est aisé de la déterminer. En eflfet, en décrivant d'abord le lacet A, on obtiendra une première intégrale A, et U(w — x)^~^ aura pour valeur finale e-^^'='iM. Décrivant ensuite le lacet B, on obtient comme seconde partie de l'intégrale e^'^^^iB, et U(u — œ)^~* aura pour valeur finale g27ï/(a,+Pj)]\|^ L'intégrale suivante, le long de A~% serait évidemment —  si la fonction à intégrer avait pour valeur initiale e^Tiia,^ ^qui est sa valeur finale lorsque l'on décrit A avec la valeur initiale M); elle sera donc, dans le cas actuel, égale à — e^'^^^^A, et U(w — ^)^~* aura pour valeur finale
Enfin l'intégrale suivant B~' sera — B.
On aura donc, en réunissant ces résultats,
(6) [AB] = (i — e''^^^^)X — (I — e27t."«0B.
On obtiendra des formules semblables pour les intégrales analogues, telles que [AX], [BX], .... On déduit immédiatement de ces relations les suivantes :
(7) [XA]=r-[AX],
(8) (i — e27r/^)[AB]4-(i — e2Tc/a,)[BX]4-(i — e27r/p.)[XA] = o,
qui montrent que toutes les intégrales [AB], . . . s'expriment linéairement au moyen des intégrales particulières [AX] , [BX], ... [à moins toutefois que ^ ne soit un entier, auquel cas on aurait évidemment
,e2^^1=:o, X = o, d'où [AX]=:o, [BX]=o, ...,
de telle sorte que l'équation (8) deviendrait identique].
194. Le nombre des intégrales obtenues par ce qui précède est égal au nombre des racines distinctes de l'équation Q(z/.)=: o. Si donc le polynôme Q a des racines égales, ou si son degré est inférieur à ai, il nous faudra trouver de nouvelles intégrales particulières. Nous les obtiendrons en choi-
sissant la ligne d'intégration L, de telle sorte que V s'annule à ses extrémités.
Soit a une racine multiple d'ordre [jl de l'équation Q i== o. Posons
u — <2 =r p ( cos cp 4- « sin cp ) , et
:=: r {cosp -+- i sin/?)
dans les formules (4) et (5) et faisons tendre p vers zéro; on aura évidemment
V= Ôpa. (cosaicp 4- i sina,cp)e'"P*~'*l<='>^t^-(S^-^)?l+'^î"f''-^[^-^^?ll,
6 étant un facteur qui tend vers la limite finie
Cette expression tendra vers o ou vers oo, suivant que cos[/? — (p. — i)cp] sera négatif ou positif. Or l'équation
cos [p — ( [Jl. — I ) cp ] =:z o
donne pour o un système de 2([jl — i) valeurs équidistantes, dans l'intervalle de zéro à 211. Si du point a on mène des droites dans ces diverses directions, elles partageront les environs de ce point en 2([jl — i) secteurs. Et, lorsque u tendra vers a, V tendra vers o si u se meut dans un des secteurs de rang impair, vers ce s'il reste dans un secteur de rang pair. Si donc nous supposons {Jig- 2) que u, partant de la va-
leur a, s'en éloigne suivant le premier secteur, traverse ensuite le second secteur et revienne en a par le troisième
secteur, la ligne A ainsi décrite pourra être prise comme ligne d'intégration, car V est nul à ses deux extrémités.
La valeur de l'intégrale particulière ainsi obtenue variera évidemment suivant que la ligne A enveloppe quelques-uns des points 6, . . ., x ou les laisse tous en dehors. Nous admettrons qu'elle ait été tracée de manière à satisfaire à cette dernière condition. L'intégrale ainsi obtenue ne changera pas si l'on contracte cette ligne de manière à rendre ses dimensions aussi petites que l'on voudra; la diminution du champ de l'intégration sera compensée par l'accroissement de la valeur de la fonction soumise à l'intégration.
On obtiendra une autre intégrale particulière en intégrant suivant une ligne infiniment petite A' qui s'éloigne de a suivant le troisième secteur et y revienne parle cinquième, etc., ce qui donnera évidemment [jl — i intégrales particulières.
Chaque racine multiple de l'équation Q = o donnera évidemment un résultat analogue, de telle sorte que, si \ est nul, nous aurons le nombre d'intégrales voulu.
195. Si \ n'est pas nul, cherchons ce que devient V lorsque u tend vers oo. Nous aurons à poser
« =r= p (ces cp -h j sin cp ) , — ^— =: /■ (cos/> -f- i sio/?)
et à faire tendre p vers oo. On aura évidemment
V = 8pa.tP.+- [ces ( ai + Pi 4- . . . ) ^ + / sin ( «1 -h Pi 4- . . . ) o]
X e'"P^[cos(jo+Xç)-f-/sin(/>-i-X<p)]
le facteur 8 tendant vers l'unité.
Cette expression tendra vers o ou oo suivant le signe de cos(/? -f-X'f ). Or l'équation cos(/? -j- Xcp) = o donne -ik valeurs de (p. Traçons, à partir d'un point quelconque du plan, des droites ayant ces directions. Elles partageront le plan en 2^ secteurs; pour u = oo, on aura
Vr=0 ou Vzzzoo
246 TROISIÈAŒ PARTIE. — CliAPITRE II.
suivant que u sera dans un secteur de rang impair ou pair. Et si l'on suppose une ligne A partant de l'infini dans le (2/7i + iy^'°® secteur et y retournant par le ( 2 m + 3 )^''™^ (après avoir laissé à sa gauche tous les points «, ^, . . . , jc), elle fournira une intégrale particulière. On en obtiendra ainsi \.
196. Nous avons ainsi obtenu dans tous les cas le nombre d'intégrales nécessaire. On pourrait en déterminer une foule d'autres. Il est clair, en effet, qu'on pourrait prendre pour ligne d'intégration :
i^ Toute combinaison de lacets, telle que chaque lacet fût décrit aussi souvent dans le sens direct que dans le sens rétrograde;
2° Toute ligne L joignant deux des points a, 6, . . . , 00, pourvu qu'elle arrive à ces points dans une direction telle, qu'on ait, en y arrivant, V=: o.
Mais nous savons d'avance, et il serait d'ailleurs aisé de le vérifier, que ces intégrales sont liées linéairement aux intégrales fondamentales que nous avons déterminées.
197. Pour une valeur donnée de x, les lignes suivant lesquelles sont prises ces intégrales fondamentales peuvent être déformées à volonté sans que la valeur des intégrales soit altérée, pourvu que dans cette déformation elles ne traversent jamais les points a, 6, . . . , ^. Si l'on fait varier x d'une manière continue, ces intégrales varieront également d'une manière continue, pourvu que le mouvement de x soit accompagné, lorsque cela devient nécessaire, d'une déformation des lignes d'intégration, qui leur fasse éviter la traversée des points a, 6, . . ., x.
Ces considérations permettent de déterminer le groupe de l'équation différentielle proposée. En effet, les points critiques de cette équation sont les points «, Z», . . . , et il est aisé de se rendre compte de la manière dont varient les intégrales fondamentales lorsque x tourne dans le sens direct autour de l'un de ces points, tel que a.
198. Les lacets B, . . . n'auront pas changé; mais les lacets X et A, pour éviter d'être traversés par a et x, auront dû se transformer en X^ et A^ {fig. 3). Or le nouveau
Fig. 3.
contour X' est évidemment équivalent à XAXA * X * et le contour A' à
XAX-i==:XAX-^A-i.A.
L'intégrale suivant X' sera donc égale à X -{- e-'^^'[AX]^ et l'intégrale suivant A' à — [AX] -f- A. Par suite, l'intégrale
[AX] = (i — e2^^'^) A — (i — e^^'*^.) X
se trouvera transformée en
(I c'^'^dl^^X'— (i — e^Ti^'x.^x'
— [ AX] [i — (i — e^Tt^t ) — (i — e^^^'a.) e^Ti^t] — e27:f(a.+^) [ AX],
etl'une quelconque [BX] des autres intégrales [BX], [CX], ... sera changée en
[BX] + (e^
27ri|
