AX

199. Si a est une racine multiple d'ordre [jl pour l'équation Q = o^ il existera {jl — i intégrales particulières I^, . . . , IS j correspondant à des contours fermés infiniment petits A,

A', • . . passant par ce point (194). Ces contours n'étant pas traversés par x dans son mouvement pourront être conservés sans altération. Mais la fonction à intégrer contient le facteur (;/ — ocy^~'\ qui se reproduit multiplié par e^Tr*^ lorsque X tourne autour de a, car il enveloppe en même temps le point u qui en est infiniment voisin. Les intégrales I^, . . . , I[i~i se reproduiront donc multipliées par e^'^'^.

Soient h une autre racine multiple de Q = o, v son ordre de multiplicité. Il existera v — i intégrales particulières correspondant à des contours fermés infiniment petits passant par h. Le point x restant extérieur à ces contours lorsqu'il tourne autour de a^ cette rotation ne changera ni les lignes d'intégration, ni la valeur du facteur (w — x)'^"'^. Ces intégrales resteront donc inaltérées.

Enfin il en est évidemment de môme des intégrales correspondant aux \ racines infinies que pourrait présenter l'équation Q = o(193).

Nous avons ainsi déterminé d'une manière complète la transformation que subissent les intégrales par une rotation autour de a. On déterminerait de même la transformation opérée par une rotation autour de chacun des autres points critiques 6, ....

200. Il peut arriver, pour certaines valeurs particulières des coefficients de l'équation différentielle, que les intégrales obtenues cessent d'être distinctes. Ainsi, si nous supposons que a^ soit un nombre entier m, l'intégrale

[AX] — {i — e2^^'^)Â — (i — e2^'«.)X

sera identiquement nulle; car, d'une part, e^^^^izrr i et. d'autre part, A= o, car la fonction à intégrer reste monodrome dans l'intérieur du lacet A. •

Pour obtenir dans ce cas l'intégrale particulière qui doit remplacer l'intégrale évanouissante, nous supposerons a, = /?2 H- £, £ étant infiniment petit. L'intégrale [AX] dans cette nouvelle hypothèse ne sera plus nulle, et, en la déve-

loppant en série suivant les puissances de £, on aura

[AX]=:[AX]a-..

^[A-X]) + -il f^ [AX]) +.. .

Le premier terme de ce développement est identiquement nul. Divisant le reste par s, nous obtiendrons une autre intégrale