I[AX] = (-J[AX])^__^-H
qui, pour £ = o, se réduira à son premier terme
nÂ) et SCs désignant ce que deviennent les intégrales A et X lorsqu'on y remplace dans les fonctions à intégrer le facteur (u — a)°^i par sa dérivée (u — a)"^ log(w — a) pour la valeur particulière a, = m.
On pourra opérer de même dans tous les cas analogues oli une combinaison linéaire des intégrales fondamentales s'annule identiquement. En faisant varier infiniment peu l'un des paramètres, convenablement choisi, cette expression cesserait de s'annuler. Sa dérivée par rapport à ce paramètre donnera l'intégrale supplémentaire dont on a besoin.
201. Considérons en particulier le cas où toutes les racines de Q(m) sont inégales et finies; on aura
et les intégrales particulières de l'équation proposée seront
J-jJCt
CA
UFO
données par la formule
Iap..4= f{u — a)^-' {u — b)^-K . . {u — œ)^-' du,
OLi L est un contour fermé quelconque, tel que la fonction à intégrer reprenne sa valeur initiale après l'avoir décrit. La différentiation sous le signe f donne évidemment
L'équation différentielle à laquelle satisfait la[3..-^ équivaut donc à une relation linéaire entre les ii-j-i intégrales consécutives Ia^...|, Iap...,e-i, • • •: Iap...,^-/i-
D'autre part, on a évidemment
la+i, p.. 4 = ^a^..., ^-+-1 4- (^ — a) laI3...^
Cette formule et ses analogues, combinées avec la relation précédente, montrent que toutes les intégrales de la forme
Aa-t-/>, P+7, .... ^+7-}
OÙ/?, ^, ...,/' sont des entiers, s'expriment linéairement en fonction de n d'entre elles, telles que Iap...|-i5 •••,
Signalons encore cette formule, dont la vérification est immédiate,
^ ^ da dx dadx
202. Si les exposants a, [i, . . . , ç sont réels et rationnels, l'intégrale
r(i^^)a-i(M^)P-i ... {ii — x)^-^da
sera une intégrale abélienne, et l'intégrale Iap...$ en sera une période.
On pouvait prévoir a priori que les périodes d'une intégrale abélienne, considérées comme fonctions de l'un des
paramètres a quijfîgureiU dans l'intégrale, seraient les solutions d'une équation différentielle linéaire à coefficients uniformes. En effet, soient P, P,, . . . les périodes linéairement distinctes. La forme générale des périodes sera
mP-h niiPi H-. . . ,
m^ mi, ... étant des entiers. Si nous faisons varier a d'une manière quelconque, P, P4, ... varieront d'une manière continue. Et, si a reprend sa valeur primitive, les valeurs finales de ces fonctions, étant encore des périodes, seront de la forme mP -^ m iP^ -{-... . L'effet du contour fermé décrit par a sera donc d'opérer sur P, Pi , ... une certaine substitution linéaire. L'équation linéaire
da
dP dl\
da da
dont ces périodes sont les solutions, se reproduira multipliée par le déterminant de cette substitution lorsque a décrit ce contour; et, si nous divisons l'équation par le coefficient du premier terme, les coefficients de la nouvelle équation obtenue se reproduiront sans altération. Ce sont donc des fonctions uniformes.
203. Proposons-nous , comme application , de former l'équation différentielle à laquelle satisfont les périodes de l'intégrale elliptique
considérées comme fonctions du module k. On a
dt
eu
en posant
^ Les périodes de cette intégrale, considérées comme fonctions de X, satisferont à l'équation différentielle (i) si l'on pose
Substituant ces valeurs, il viendra
Il reste à transformer cette expression en substituant à x sa valeur -— • On a
dx:^-^'-^, d'Où ^^^-U-3
^^ dx ^ '
dx - 2^ -dk'
^^^-l, -''^ -d¥---'' -dk)^-~^^')
et, en substituant,
