L'équation différentielle de Laplace dx

OÙ les /, g sont des constantes, peut s'intégrer par un procédé tout semblable à celui qui nous a servi pour l'équation (i).

Posons, en effet,

Le résultat de la substitution de cette intégrale sera

en posant, pour abréger,

R(u) =fu- +/, w"-i H- . . . 4-/„, Q{u) = gu^-hg^ u^-' ^,..-^g-^,

Si nous déterminons ici encore U par la condition

R(«)U = ^UQ(«), d'où

l'intégrale précédente se réduira à

Elle sera nulle, et l'on obtiendra, par suite, une intégrale de l'équation proposée, si l'on choisit pour L un contour fermé tel que V reprenne sa valeur initiale quand on revient au point de départ ou une ligne telle que V s'annule à ses deux extrémités.

Soient

a, b, c, ... les racines distinctes de l'équation Q ==:: o,

m leur nombre ;

A, B, G, . . . les lacets correspondants.

On obtiendra m — i intégrales en prenant successivement pour L les contours

ABA-iR-S ACA-iG-S ....

Si l'équation Q = o a des racines multiples, soient a l'une d'elles, [X son ordre de multiplicité : on obtiendra, comme au n° 194, [Jt. — I nouvelles intégrales, en prenant pour L des contours partant du point a et y revenant dans des directions convenables.

Enfin, soit \ le nombre des racines infinies de l'équation Q = o (ce nombre pouvant être nul) ; on aura

ai a, Pi

et, par suite,

17 / TT du-hiix

— ^ït^'+'-l-...-f-(p^-+-Jr)«

le facteur B restant fini pour u =cc.

On verra, comme au n" 19o, qu'il existe X + i intégrales correspondant à des lignes L ayant leurs deux extrémités à l'infini.

Ce résultat subsistera, même si ). ::= o, auquel cas V serait de la forme

Y — e^P'-^^'^ia — ay^{u — ^)^ ... 0.

Les X -j- I intégrales ainsi obtenues, jointes aux précédentes, compléteront le nombre des intégrales requises pour former l'intégrale générale.

20S. Nous allons appliquer la méthode précédente à l'équation

On aura, \.jns ce cas,

Nous aurons donc, comme solution de l'équation proposée, l'intégrale

pourvu que l'expression

prenne la même valeur aux deux extrémités de la ligne d'intégration.

206. Avant de procéder à l'étude des solutions fournies par cette intégrale, il convient de donner quelques explications sur les fonctions eulériennes, lorsque leur argument est une quantité complexe quelconque.

La définition de T(z) par un produit infini n'est soumise à aucune restriction; elle donne, pour toute valeur de z, une valeur unique et déterminée de r(^), laquelle est toujours différente de zéro et reste finie, sauf pour les valeurs entières et négatives de z, pour lesquelles elle est infinie du premier ordre. Mais, pour qu'on puisse considérer T(z') comme fonction de la variable imaginaire z, il faut encore établir qu'elle a une dérivée.

Or r(z) est un produit infini ayant pour facteur général (t. I, n"(325)

n (n -+- lY /i -h Z 11^

Donc logr(^) sera donné par une série infinie S ayant pour terme général

log/i — log(/i -f-^) 4- slog(/i 4- i) — 5]og/i.

Prenant les dérivées des termes de cette série, nous aurons

une nouvelle série S' ayant pour terme général

— — ^^ -^log(/i4-i)-log/ï.

Mais on a

B// étant vine quantité comprise entre o et i.

Le terme général de la série des dérivées sera donc

n-{-z /^^-6„ {n-^ z){n -^^n) et son module aura pour limite supérieure la quantité

Tj désignant le maximum du module de z dans la région où l'on considère sa variation.

Les quantités K,i ne dépendent plus de z et forment une série manifestement convergente. Donc la série S'est uniformément convergente dans la région considérée et sera la dérivée de log F (^). Donc r(s) = e'''"^'^^ aura lui-même une dérivée égale à S' r(^).