La définition de r(^) par l'intégrale définie

T{z)z=z n e-U'-' dt

est bornée au cas où z est réel et positif. Mais il est aisé de la modifier, de manière à obtenir une expression de F (5) en intégrale définie applicable à toute valeur de z. Considérons en eff'et l'intégrale

e-H--"^ dt prise suivant une ligne L partant de l'infini positif et y re-

venant, après avoir entouré l'origine dans le sens directs, comme l'indique \n/ig\ 4-

Pour définir complètement cette intégrale, il faut préciser quelle est celle des déterminations de la fonction t^~^ que

l'on adopte. Soit

t =z p(coscp -4- i sincp) ;

on aura, par définition,

g(;-l)(Logp-+-i?)^

Pour chaque position du point t, p est complètement déterminé; mais l'argument cp n'est connu qu'aux multiples près de 'atc; suivant celle de ces valeurs que l'on adopte, celle de t^~^ variera.

Nous prendrons pour valeur de cp celle qui varie de o à 27: lorsque t se meut sur la ligne L. On aura, dans ce cas.

' r—^ dt — {e'-'''

En effet, les deux membres de cette égalité sont des fonctions continues et uniformes de z. On sait que deux semblables fonctions sont égales dans tout le plan dès qu'elles sont égales le long d'une ligne déterminée. Il nous suffira donc de montrer que l'égalité a lieu pour les valeurs réelles et positives de z.

Dans ce cas, la ligne d'intégration L peut être déformée de manière à se composer : 1" de l'axe des ^, de 00 à e,

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