Considérons, d'autre part, l'intégrale

ABA-'B-

A, B (^fig- 5) désignant des lacets leclilignes qui joignent les points critiques + i et o à un point quelconque a. Les

valeurs de tP'^ ^ (i — t)i'^ dépendent des valeurs initiales adoptées au point a pour les arguments C3, cd< des quantités ^ et 1 — t. Nous adopterons celles de ces valeurs qui sont comprises entre — 71 et 4- tt. La signification de l'intégrale

ÉQUATIONS LINÉAIRES. 25g

élani ainsi précisée, nous aurons

f tP-x (i lyi-x dt^ii — e^-^'P) (i - e^^^^) ^-^^^^.

\{ suifira, comme tout à l'heure, d'établir la proposition pour le cas où p eV q sont réels et positifs.

En désignant par A, B les valeurs de l'intégrale prise le long des JaceLs A, B, on aura

•^ABA-'B-'

D'ailleurs les intégrales le long des petits cercles étant a ^ 1 «-^a

nulles, on aura

Donc

ABA-« B-

Mais, en vertu de l'hjpothèse faite, ^ et i — t auront leur argument nul entre o et i ; donc tP~^ et (i — ty~^ seront

réels dans l'intégrale / ; celle-ci aura donc pour valeur 'l^^ (t. Il, nos 186-187).

209. Revenons à l'intégrale / e"^(w2 -f- i)" ^ du. Soient {fig- 6)

A, B des lacets joignant l'origine aux points critiques i et — i;

C une droite joignant l'origine au point — —, situé à i'infini dans la direction du point --—;

A, B, C les valeurs de l'intégrale prise le long de ces lignes, en choisissant celle des déterminations du radical

" — (u--\-i) ^ qui se réduit à -f- i pour la valeur initiale

« = o, ce qui revient à adopter, parmi les divers argu-

Fis. 6.

ments de la quantité u^ -\- i (lesquels diffèrent les uns des autres de multiples de 2tî) celui dont la valeur initiale est nulle.

On peut obtenir une première solution en prenant pour ligne d'intégration ABA"^B~*. L'intégrale correspondante étant

[..'- H)] [A B], on voit, en supprimant un facteur constant, que

Ij = Â — B -

est une solution.

On obtiendrait d'ailleurs directement cette solution en prenant pour ligne d'intégration le contour fermé AB~' , à l'extrémité duquel la fonction V reprend sa valeur initiale H-i; car les deux facteurs exponentiels par lesquels

ÉQUATIONS LINÉAIRES. 26l

elle a été successivement multipliée sont inverses l'un de l'autre.

ou, en diveloppant les exponentielles en séries,

Si m est impair, les deux intégrales entre parenthèses ont évidemment les mêmes éléments et se détruisent; si m est pair r=2[Ji, ces éléments seront égaux et de signe contraire; on aura donc plus simplement

V'{lÛ-r l) -'du.

Posons u r= i7-, il viendra

2 f u^\'{ie^-^i)'"^dii--r~s.{-iY-i t^^'Hi- t)'"''dt,

A' désignant le lacet qui joint l'origine au point i, t

étant réel et positif ainsi que (i — ^) ' lorsqu'on va de o à I .

Dans ces conditions, l'intégrale suivant A' sera égale à

D'ailleurs e^'^'^" 2/^ ^271^, En outre, si dans la formule

-(2Tr) - m^,

V{mz)

démontrée au t. I, n'' 385, on pose /?i = 2, z = \}- -h \, il viendra

Siibslituant ces valeurs, il viendra finalement