Nous obtiendrons une seconde solution I2 en inté
1- T 1 • — 00 grant suivant une ligne L partant du point et y revenant après av( ir enveloppé dans le sens direct la partie de l'axe des / comprise entre — i et -\- i i^fig* 6); car
qux (^if^i \__ I i s'annule au point •
oc
Posons d'où
(.3) ,,^u,= 1' +i::z. 4 fl+ ^'V''"^'
et, par suite,
k étant un entier choisi de telle sorte que les deux membres de l'équation (i3) aient le même argument lorsqu'on donne à ^ sa valeur initiale + 00 et à m la valeur correspondante
Nous adopterons pour arguments de ^ et de i + -r^ ceux
dont la valeur initiale est nulle; pour argument de œ celui
qui est compris entre — - et ^ — > pour argument initial de
;^2[j celui qu'on obtiendrait en faisant décrire à ii la ligne G et prenant zéro pour l'argument correspondant à l'origine.
Il est clair que, lorsque u décrit la ligne C, l'argument de l'un des facteurs u — i^ u -\- i augmente, l'autre diminue. D'ailleurs, chacun d'eux varie d'une quantité inférieure à tu : donc l'argument initial à adopter pour u^ -\' i sera compris entre — u et -f- tc.
On devra donc déterminer A", de telle sorte que l'argument
2^11 — 2arg^
du second membre de l'équation (i3) soit compris entre — Tcet-h-.
Si X est à droite de l'axe des y^ arg^ sera compris entre
et -j et l'on devra poser A == o ; si ^ est à eauclie de
cet axe, are^^ sera compris entre - et — ? et l'on devra poser k r=.\.
Cela posé, faisons « = dans l'intégrale
ce
e^''^(//.^-f-i) ^ du,
die deviendra
t avant pour valeur initiale et finale H- oo, et son argument variant de o à 27: le long de la nouvelle ligne d'intégralion. En supposant, ce qui est évidemment permis, que le module de t soit plus grand que celui de x tout le long de cette
gne, on pourra développer le facteur ( i -H - 2 ) P^^'' ^^
formule du binuiuc, et l'on aura ainsi
^r(!^H-i)r(/i-p.-hi)J
^ft-i~.,).l. -(eV7r.V^^)r(2,^2;x).
On a d'ailleurs, en changeant jx en n — [x — ^ dans la formule (i i),
. — r(/i — fx)
r(/.-jx-:-.'
^ r([x — 71 + i) sin(/i — (ji.)tc
2Sin//7: x'([j.— /z + i)
Enfin
2 Sin/i77
On aura, par suite,
211. Les deux solutions que nous venons d'obtenir sont donc, à des facteurs constants près , égales à x~"J//(^) et x~"J//(.r), ce qui confirme un résultat déjà obtenu au nM91.
Onpeuttrouver deux nouvelles solution s I3 et I4 en intégrant
le long des lacets D et E joignant respectivement les points
critiques i et — i au point ^fig- 6); car e'"(w- -j- i) ^
s'annule en ce dernier point. Nous préciserons le sens de ces intégrales en adoptant encore pour argument de lâ -^r i au commencement de chacune de ces lignes celui qui est compris entre — t: et -r- ':^.
Il est d'ailleurs aisé de déterminer les relations qui lient ces nouvelles intégrales aux. précédentes. En effet, Targument de i/^-}- i reprenant sa valeur initiale lorsqu'on décrit le contour AB *, ce contour sera équivalent au contour C~^ AB~^ G — G~' AG.G~*B~' C qu'on peut aisément déformer en DE~'. L'intégrale relative à ce dernier contour est I3 — I4 ; on aura donc
(15) Il=l3-l4-
D'autre part, le contour L peut évidemment être transformé en DE ou en ED suivant que est à droite ou à
gauche de l'axe des y. Dans le premier cas, x sera à gauche de cet axe, et l'on aura
Dans le second cas, x sera à droite de cet axe, et l'on aura
212. Proposons-nous de déterminer une valeur a[)pi'ochée de I3 et de I4 lorsque le module de x est très grand. Nous admettrons, pour plus de simplicité, que n a sa partie réelle
plus grande que Le cas où elle serait <r se ramène
immédiatement à celui-là, car, en posant 1 := x"-"K, l'équation transformée en Iv ne diffère de la primitive que par le signe de /z.
Dans l'hypothèse admise, les intégrales prises le long de cercles infiniment petits décrits autour de i et de — i sont nulles, et l'on aura évidemment
Ij et r^ étant les intégrales prises suivant les droites P et Q
qui joignent respectivement les points ^ et — i au point
Soit P' une droite menée à partir du point i et faisant avec la droite P un an^^ie \ inférieur en valeur absolue à -•
L'intégrale suivant un arc de cercle de rayon infini trac.'; entre P et P' sera nulle; car e^^ tend vers zéro tout le long de cet arc plus rapidement qu'une puissance négative quelconque du rajon. On pourra donc remplacer l'intégrale suivant P par l'intégrale suivant P\ Or on a sur cette dernière droite
t étant réel et variant de o à go.
On en déduit
ie
