X [^ IX

k' étant un entier à déterminer de telle sorte que les deux

membres de l'équation aient le même argument le long de P'.

Nous adopterons, comme précédemment, pour argument

de X celui qui est compris entre et — j pour argument

de t celui qui s'annule sur P', pour argument de i H ; —

celui qui s'annule pour ^ = o.

Considérons sur les deux lignes P et P' deux points /?, p' infiniment voisins du point i\ l'argument de ii -f- i aura sensiblement la même valeur en ces deux points; et la valeur de l'argument de m — i au point p' surpassera de \ sa valeur au point/?. Or tiu point/? l'argument de w--ri est compris

ÉQUATfONS LINÉAIRES. Î267

entre — tz et -4- tt. Sa valeur au point p' sera donc comprise entre — tz -[-"k et tt -f- )^.

Mais l'argument du second membre de la relation (i8) au point/)' est égal à

-r A — arg^ -H 2 k'iz.

Pour qu'il soit compris entre — 7r + ^et'ïï:-}-)^,il faudra poser

A"'= o ou /i'= i, suivant que l'argument de x sera compris

q entre et - ou entre - et — • On aura donc, en tout état

de cause, k'^=k, le nombre k étant celui qui figure dans l'expression (i4) de l'intégrale I-.

Prenant donc t pour variable indépendante au lieu de u et

ni

remarquant que e'^ := i^ il viendra

Il désignant l'intégrale Or on a

L'"^""2^J - Z n^-i-i)Tjn=y:^\'^j ■^^^'"'

R;,^ étant un reste dont nous aurons à discuter la valeur. Donc

Zj r({x-Hi)r(/i — [x-f-i) V2^; j, ^ ^

le reste U étant donné par l'intégrale

e-''''(e'>^'t)" ~^R,„e>^'dt.

jMais

e-^'''^{e>Uf~'^"'^e^-^dt

n'est autre chose que l'intégrale

2 ^ dz

prise le long d'une droite allant de l'origine jusqu'à l'infini avec un azimut \. L'intégrale de cette même fonction étant évidemment nulle sur un arc de cercle de rayon infini, compris entre cette ligne et l'axe des x^ on pourra remplacer la ligne d'intégration par l'axe des x., ce qui donnera, pour valeur de l'intégrale,

Nous aurons donc, pour expression approchée de H, la série V: / • ■ ...

Y r(/^+|)r(/i-i-!i. + -;) ( ±\v- Zj r(}x-}-i)r(/i-|x4-i) V^^y

et nous n'aurons plus qu'à trouver une limite supérieure du module de l'intégrale U, qui nous permette d'apprécier l'erreur commise.

213. Or e~^ '^e^^ a pour module e~^*^°^^; et, si nous supposons /i = a -f- [^«, la quantité

aura pour module

Pour obtenir, d'autre part, une limite du module de B„i, posons

EQUATIONS LINÉAIRES. iGg

f{t) et cd(^) étant des fonctions réelles. La série de Maclau- ;i rin, appliquée à ces deux fonctions séparément, donnera

fm-\ fin-\ l r.\ tm

fm — \^m—\(r)\ Mil

'^ ' 1.1.. {ni — I) i.'2../;i ' .

Q et 0' étant compris entre o et i ; on aura donc, pour l'expression du reste,

\ . '2 . . Il i

Or on a

et, par suite,

Soit donc M la valeur maximum du module de F"*(/) entre o et co; on aura

\f"'{Ot)\lU, icp'"(ô'Ol"M, d'où

D'ailleurs

et, si nous supposons

^ = p ( ces çp -f- i sin cp ) r= p e'"?, on aura

1 H — -— I sin ( X — co ) -h « — ces ( X — 9 ).

Le module de cette expression

^sin(X — <o) W

f270 TPiOISlfeJIE PARTIE. — CHAPITRE II.

a pour valeur minimum

|cos(>i — cp)|

correspondant à t = 2 p sin(7. — cp), et son argument <L, qui est nul pour ^ = 0, sera constamment compris entre — tt et

Cela posé,