IX
a pour module
Si nous avons poussé ce développement assez loin pour que m soit >> a — ^, le maximum de cette expression correspondra au minimum de r et sera au plus égal à
cos(X — ©) ^ eiriPl.
On aura, par suite,
Yi^n — m — \)
214. Nous obtiendrons donc pour limite supérieure du module de U une expression de la forme
Ke-PMcos(X-9)r"^
a — -+7« -/cos>> / 2
dt,
R désignant une constante indépendante de x et de \, D'ailleurs, en posant ^cosA = ^, on aura
-tco%k ,
dt —
dz
(cosÀ)
et enfin, par suite,
|U|^Kr(a4--î-'^) ^-^ T^^ TTn'
Le second membre contient l'indéterminée A, variable entre et — et dont nous pourrons profiter pour rendre
minimum le coefficient de — - Nous aurons ainsi
A-p étant une fonction de o évidemment finie et continue. Soit A son maximum; on aura
La limite ainsi obtenue pour le module du reste U est de l'ordre de — ? tandis que les modules des termes de l'ex-
pression approchée de I'^ sont de l'ordre de — ? où jjl <; m ;
circonstance qui justifie notre formule d'approximation lorsque p sera suffisamment grand, toutes choses égales d'ailleurs.
215. Un procédé analogue permettra de trouver la valeur approchée de l\. On substituera à la ligne d'intégration Q une autre ligne d'intégration Q' faisant avec elle un angle X
inférieur à - en valeur absolue. On aura, le lon<? de cette 2 °
ligne,
ie
27a TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II..
les arguments des deux membres étant ici égaux, comme étant tous deux compris entre — tt -h ). et tz -f- X. On aura, par suite,
Hi désignant l'intégrale
se
e-e->^^t[e>-t)''~Ui~ '■^] e^-dt-,
et enfin, en développant la puissance du binôme,
jj, r- lu - 1
■ V r(/i4-^)r(7.-f-^H--^) (-iy ^ TT
U, étant un reste dont le module a pour limite supérieure
— , A, désiernant une constante.
216. En nous bornant au premier terme des développements de I3 et de I4, nous aurons pour ces intégrales les valeurs asymptotiques suivantes :
— in — n
œ 2 On en déduit, pour la fonction
la valeur asymptotique
1 \ TZl
y/2'jr.a7[
SI X est à droite de l'axe des y, on aura A: :== o, et cette expression se réduira à
S'il est à gauche, oq aura A" - -- i , et l'expression deviendra
V — - cos \x-\-{n -1- \)-\
Au moyen des relations (i4) et (17) qui lient J,i(^) à I2 et cette dernière intégrale à I3 et L,, on trouvera de même la valeur approchée de J/^(^).
217. Les deux valeurs asjmptotiques trouvées ci-dessus pour J/i(^) coïncident si n est la moitié d'un nombre entier.
Soit, en effet, n=^ m -\ Elles se réduisent à
^^^eos[^-(m4-.)^]
D'ailleurs, dans ce cas, les développements trouvés pour H et Hi se limiteront d'eux-mêmes, le dernier terme étant celui où u. = m; H et Hi seront donc des polynômes entiers
en -5 de degré m et conjugués, dont le premier terme
est T[ni).
50it
