II -r r(m) I - ai -^ + . . . H

Hi==r(m) I — ai J. — Cours, III.

Les autres formules donnent, pour n = m --r-

ty % nUl nlX

VI —l r> 2 r,m p — IX

- /'^r-He(-^"'>-^H,e(--')'1 y Tzx' L 2fr(m) J

On, en substituant les valeurs de H, H<,

'^ f -f- Sin ^ - ( 771 + l ) -

218. M. Knmmer a montré que l'intégrale générale de l'équation

s'exprime par des intégrales définies multiples.

Soit, pour fixer les idées, |ji =:= 3. Posons, pour abréger,

On a

du

-— - m (— wp^'^-^-i- a'^f^c^^') X,

-et, par suite,

ôx'

riV'-X

^~i/c nn-Zçn-2

IW

dl

a-3/w^''-3p''-2 :^i OL-'-^^\TU''-'- —

dv

uwœU

OU

[ntégrons celte équation par rapport à w, ç^ pp, de o à oo, et posons

y ;^ = S r (v^ X du dç dw ;

il viendra dx"^-^

^yj,z=i— a-3^-Mo — a-2/^^M, — a-^^^MTs;

Mo, M,, M2 désignant les intégrales

Mo -- S w"-^(^"-^ -r— dudvdw,

M, rr:= S u''~- -^-dud^^dw.

ov

M, =- S «^ -v- du dvdw.

au

Ces intégrales sont des constantes indépendantes de x et de /i; car si, dans la première, par exemple, on intègre d'abord par rapport à w, on aura

dw

dw:^.[l]\

d'où

Mn — / / — u"-'^ ç''-^e ~i~ cludv — const.

De même pour Mi , Mo.

Posons maintenant

Cette expression satisfera à l'équation

— -— x'^y :=. aQ~\- a^x -4- a^ x- ;

si l'on établit entre les constantes C les trois relations

— M. Sa -/-C/, --:«,.

Il restera encore n — à constantes arbitraires. On aura donc ainsi l'intégrale générale.