Soit

une équation différentielle linéaire dont les coefficients soient des fonctions elliptiques de u, aux périodes 2 to, et 2 0)2. Supposons que ses intégrales soient uniformes, ce dont il est aisé de s'assurer en les développant en séries. Nous allons donner le moyen de les déterminer.

Soient cp, (w), . . -, On{u) un système de n intégrales indépendantes. Si nous changeons u en w-f-2w<, l'équation transformée, laquelle est identique à Féquation primitive, admettra comme système d'intégrales indépendantes

(p,(^^ -I- 2Wj), . . ., 9,,(// + 2WJ.

Ces nouvelles fonctions seront donc liées aux intégrales primitives par des relations linéaires de la forme

Q/,(?^ -f- 20)i) rr- Ci/,9i(«.) +•••+ <^'»/v?«(")' (A" ~ I , ..., n) ,

les c étant des constantes dont le déterminant n'est pas nul.

TjC changement de u en u-{-2iûi dans les intégrales o,, .,., O/^ revient donc à opérer sur ces intégrales une substitution linéaire, que nous désignerons par S.

On verrait de même que le changement de u en u -h 2W2 équivaut à une autre substitution linéaire S\

Enfin le changement de u en w + 203, H- awo équivaudra à opérer successivement la substitution S suivie de la substitution S', ou la substitution S', suivie de S. Les deux opérations S et S' satisferont donc à la relation