SS':-3:S'S

220. Proposons-nous de simplifier l'expression des substitutions S et S' en remplaçant 04, . . ., Z),i par un autre système d'intégrales indépendantes.

Soit s Tune des racines de l'équation caractéristique de S ; il existera des intégrales que S multiplie par 5; soient y, y', . . . celles de ces intégrales qui sont distinctes. La forme générale des intégrales qui jouissent de cette propriété sera xy -+- aJy' --{-

Soit Y la fonction que S' fait succéder à y, SS' remplacera )^par5Y; S'S doit produire le même résultat; or S' remplace j' par Y; donc S doit transformer Y en sY ; donc Y est de la forme ajr4- ay + ....

La substitution S' remplaçant ainsi chacune des intégrales j', y, . . . par une fonction linéaire de ces mêmes intégrales, il existera au moins une fonction linéaire x de ces intégrales que S' multiplie par une constante s'.

INous avons donc prouvé qu'il existe au moins une intégrale œ que S et S' multiplient respectivement par des constantes s et s' .

221. Nous allons démontrer qu'on peut déterminer un système d'intégrales indépendantes

Jii' • • •' fuh^ 721, . • ., 72,/,,

tel que les deux substitutions S, S' prennent la forme suivante :

•5i7iA' •••.>^i(7/A--^Y,v,),

.S|, s\ ; 5o, 5', ; ... étant des couples de constantes différents; Yihi ^'ik <^6^ fonctions linéaires de celles des intégrales y dont le premier indice est <Cl', ^-^ikt T-^ik f^cs fonctions lint'aires de celles des intégrales z dont le premier indice est <C /, etc.

Celte proposition étant supposée vraie pour les substitutions à moins de n variables, nous allons montrer qu'elle subsiste pour deux substitutions S, S' à /i variables.

On a vu qu'il existe au moins une intégrale x que S et S^ multiplient respectivement par des constantes 5, s' . En la prenant pour intégrale indépendante à la place d'une des intégrales primitives, telle que cp,/, S et S' prendront les formes suivantes :

S — ! cpi, . . ., cp„i, X *i -+- a^x, . . ., *«i-H a,i^^x,sx [,

S'— l'fi, . . .,o„3,^ ^'^^a\x, . . .,^\,^^a„^x,s'x\,

les diverses quantités O, <ï>' étant des fonctions linéaires de

Désignons par S, Yl les substitutions à /z — i variables

Il '- n — \

L'égalité SS'^-S'S entraînera évidemment la suivante :

ss'~ s' s.

On pourra donc, en appliquant le théorème à ces substitutions, les mettre sous la forme (3). Le même changement d'intégrales indépendantes, appliqué à S, S', les mettra évidemment sous la l'orme

Ju-, ■••, ya-, • . s^y^k'r-c^k^, ••- s,{yik-^'^ik)-\-CikO0, ... i ^1 ;•, • • • , ^ik. ■ ' ■ s^z^],-r-d^kX, . . ., s,{zi,, -\- Zik) -vdij,x, . . . |

OC SX I

y'xk^ ■■■, ytk, ■" s\y^u-^c\u^, • • •. 5;(///,-^Y;.^.)-f-c,•;,,^, ... [ Ti;., ..., Zf,, ... s',z^^-\-d\j,x, ..., 4(^//-i-z;v,)-+-rtlt^, ... I

Prenons pour intégrales indépendantes, au lieu des y^ les suivantes :

j'ik^ync-'^^ik^',

les substitutions S, S' conserveront la forme précédente, sauf le changement de

Ci,, en ( ,ç — 5i ) a,7, — s 1 A//, -f- Ca,, ^'ik en ( s' — s\ ) ^ik — s\ a;-/. -+- ( \,,,

A//f, A^;^ étant ce que deviennent Y//^, Y^y^, quand on y remplace lesj- par les a correspondants.

Gela posé, si 5^5i, on pourra évidemment disposer des a de manière à faire disparaître tous les coefficients cik- Les coefficients c^^ disparaîtront d'ailleurs en même temps, en vertu de l'égalité SS':^ S' S. Egalons en effet les coefficients de X dans les expressions que SS' et S' S font succéder à yi]^\

( 4 ) 5, ( C\j, -\- C;-;, ) H- 5' Cik = 5; ( Cik -\- Oiu ) --1- SC\j,,

Cik-, C'-f^ étant ce que deviennent respectivement Y'^y. et Y/^

28o TROISIÈME PARTIK. — CHAPITRE II.

lorsqu'on y remplace les jk par les c ou par les c' correspondants. Si les Cif( sont nuls, ces relations se réduisent à la forme

Ces équations sont linéaires et homogènes par rapport aux c^Yf, et leur déterminant, étant une puissance de s^ — s, n'est pas nul. Elles ne peuvent donc être satisfaites que si les c'^f. sont tous nuls.

Si^'^^',, on pourra de même faire disparaître les c'^/^', et les relations (4) montrent que les Cik disparaîtront en même temps.

Si donc le couple de constantes 5, s' ne se confond avec aucun des couples a,, s\ ; S2, s'.,; . . ., on pourra faire disparaître tous les coefficients c/a, c^/. ; c/,/,, d'-j^', . . .-, et S, S' seront ramenées à la Ibrme requise ; aux diverses classes d'inlégrales jK> z, . . . viendra seulement se joindre une classe nouvelle, formée de la seule intégrale x. Soit, au contraire. s ■==! Si,s'= s\ ; on pourra faire disparaître les coefficients â?/;(i^, d'-f^^ ... ; et l'on n'aura qu'à poser dk = 6", /??/a, «^'//f = s\ ^^Ia pour ramener S et S' à la forme requise, la nouvelle intégrale X rentrant ici dans la catégorie des intégrales jk< a, qui appartiennent à la classe des y et ont l'unité pour premier indice.

222. Admettons donc que les intégrales indépendantes aient été choisies de manière à ramener les substitutions S, S' à la forme (3). Considérons en particulier une des classes formées par ces intégrales, telle que /i<, . . . , jk/a? • • • • Le changement de u en w + 2 w, ou u -\- 2(1^2 leur fera éprouver les substitutions partielles

( <^--!.ru-, . . .,j/A-, ..., ^i/iA-, •• -^-^i (//•/.+ Y,7,), .. I,

lesquelles devront évidemment satisfaire à la relation

(6) aa'— a'(7.

On a, par définition, *

la sommation s'étendant à toutes les valeurs du premier indice / qui sont <^ /, et aux diverses valeurs de m correspondant à chacune de ces valeurs de /.

On voit aisément que cro-^ remplace en général y/^ par

Jik H-

Y.-. 4- y;, -^ 2, ^^ (^ï^- H, „, ^îr >/'..')]

la sommation par rapport à V .

J! inférieures à / et aux valeurs correspondantes de rti' .

La substitution o-' a- rem placera j^/;^ par une expression analogue, où les coefficients a qI b seront permutés.

Ces deux expressions doivent être identiques, en vertu de (6). En égalant les coefficients des termes en jK/m? o^^ aura les relations

(7) y («î^^^/r-Mr«;r)--o,

la sommation s'étendant à toutes les valeurs de l qui sont <C ^ et >> /', et aux valeurs correspondantes de m.

223. Réciproquement, soient o-, a' deux substitutions de la forme (5) et satisfaisant à la relation (6) ou aux conditions équivalentes (7). Nous allons montrer qu'on peut cons:ruire des fonctions j^n > • • -i yih qiii subissent ces substitutions lorsqu'on accroît la variable w de 2t0i ou de 2W27 et nous déterminerons la forme la plus générale de ces fonctions.

Considérons à cet effet la fonction doublement périodique de seconde espèce

(jr ( W ) =: e'-'".

(^ a Elle admet les multiplicateurs

qui se réduiront respectivement à 5,, .s',, si l'on détermine b^ a par les équations

itù^b -\- 27)1 a == log^i, 2 W2& H- 2 7]2a = log^'j.

On peut toujours y satisfaire, le déterminant

2 0)1 .2Tj2 — 2 W2. 2T(i

étant égal à zîr ird.

Posons

Lorsqu'on accroîtra u de 2t^)^ ou de atoo, les nouvelles fonctions Xik subiront les transformations

X/A, X^^ étant ce que deviennent Y,;^, Y'^-^ lorsqu'on y remplace \es Yih par les xtk. Les substitutions t, t' seront échangeables entre elles.

Il reste à obtenir l'expression des fonctions Xi^.