f- I H- 3 m rrr 2 71 -i- I

Si n est un nombre impair 2 m -'ri, il faudra supposer: r' /i- irzz I, p. = m, d'où m -h 1 solutions, ou 3 (m -j- i) en prenant successivement pour N chacun des trois facteurs o-^ow; 2° ou A" = 3, |jt. =r m — ^ I , d'où 771 solutions.

Le nombre total des valeurs de h qui fournissent des solutions de l'espèce NP sera donc

comme dans le cas précédent.

ÉQUATIO>S LINÉAIRES. 297

232. M. Halphen a montré qu'on peut ramener aux équations de M. Picard les équations

à coefficients elliptiques, lorsque les rapports de leurs intétéfirrales sont des fonctions uniformes.

Soit, en efTet, a l'un des pôles des fonctions/?,, ..., p,i. L'équation déterminante qui correspond à ce point sera

a désignant le résidu de p^ par rapport au point a.

Les quotients des intégrales étant uniformes, les racines de cette équation différeront les unes des autres de nombres entiers. Si donc on désigne par /• l'une d'elles, leur somme sera égale à

nr -h e,

e désignant un entier.

Mais cette somme est égale à

On aura donc

nr -\- e zzz — a.

Faisons la somme des égalités analogues pour les divers pôles a contenus dans un parallélogramme de périodes. La somme des résidus a étant nulle, il viendra

/iSa' =r entier.

Donc YaV est un nombre commensurable.

Soit m le plus petit entier tel que la quantité

m^Sr — E

'^^BH A ,i y

OF THTî

UNIVERBi

soit un entier. Posons