CHAPITRE II

fa-^y'n[.(« -.)]'•

Si nous changeons z/ en z^ + 2 m (o ( 2 co désignant une période primitive quelconque) a-(w — a) se reproduira, multiplié par

g2/«r((?t4-m(o— aj+mTif

et (7— se reproduira, multiplié par Donc P se reproduira multiplié par

^[2m Yl (t<-f-7rt(jO — a)-f-2 7t/j r— 2Yî( — + 0) j-l-7lMl P'

et sa dérivée logarithmique ^ sera accrue de

im

Donc -p est une fonction elliptique aux périodes 2mto<,

imiù2'

Ttll pw

Il en sera de même de -—y -^-j - ■ - ■> en vertu de la formule

récurrente

PH- ^ P!^-^ P!^-' P' "F "^ ^ ~P ~ "^ "P~ p"

Posons maintenant

y^Vz.

La transformée en z sera

du"

du"-''

-4-/^lP

ÉQUAKONS LLNÉAIHES. 299

et si nous divisons par P, les coefficients seront des fonctions elliptiques aux périodes ijiuji^, 2mw2, cslt pi^p^^ ... admettent ces périodes.

D'ailleurs, l'intégrale générale z = '^ âe cette équation est uniforme; les points critiques de ^ = '^ sont : i" les points

pour lesquels y et P sont tous deux de la forme

(a H- 2miCi>i -h 2/?22W2)'"S,

S désignant une série de puissances entières; ces points seront donc des pôles pour z; 2" si l'entier E est négatif, les

zéros de a- — ? lesquels seront aussi des pôles pour z.

L'équation transformée appartiendra donc au type de M. Picard, sauf que les périodes des coefficients ne seront plus 2Wi, 2iû2, mais 2//ic0i, -innù^.

OOO TîiOISIÎiMK PAHTIF. — CUAPITIIE III.