I. -- Notions préliminaires

233. Tout système d'équations aux dérivées partielles F =:^ o, Fi = o, ... entre des variables indépendantes ^r,, ...^ Xn, des fonctions de ces variables «,, . . . , iim et leurs dérivées jusqu'à l'ordre p peut être remplacé par un système ne contenant que des dérivées partielles premières.

En effet, chacune des dérivées partielles d'ordre p^ qui figurent dans les équations, est, par définition, la dérivée première d'une des dérivées partielles d'ordre /> — i; celles-ci sont des dérivées premières de celles d'ordre/? — 2, etc. Si donc nous prenons pour inconnues auxiliaires les dérivées partielles d'ordre <C/^, les équations F =: o, F, = o, ... ne contiendront plus que des dérivées premières^ et il en sera de même des équations qui définissent chacune de nos inconnues auxiliaires, et qui, jointes aux précédentes, constitueront un système évidemment équivalent au système primitif.

On peut donc se borner à considérer les systèmes d'équations simultanées aux dérivées partielles du premier ordre. Il est même permis de supposer que les dérivées partielles n'y figurent que linéairement, à la condition de joindre aux équations différentielles certaines conditions accessoires.

Soit en effet

du y du,n

un semblable système. Prenons pour inconnues auxiliaires

les dérivées partielles - — ; •••> - — ? que nous représente-

rons par /?ii, . . ., pm/i- Le système donné équivaudra au suivant,:

i F(.ri, . . .,^„; Wi, .. ., i/„,;/?ii, .. .,Pnin) =0, ' î

D'ailleurs, pour que F, . . . soient identiquement nuls, il faut et il suffit : i" qu'ils s'annulent pour une valeur particulière ^t de la variable ^, ; 2" que leurs dérivées par rapport à ^^ soient nulles. Nous pourrons donc remplacer les équations (i) par les suivantes :

/ o\ i '^H^lj • • • > ^fi ; ^1? • • • j f^/n ; Piif ■ ' • , Ptnn ) '■= ^j

pour Xt-~^i, et

^F dF dF

^j?i difi du ^

ml

<4) { ^ àpu , ^ àp

dp II ÔJ^i ' * ■ "" dp,nn àx^

Or les équations (-2) et (4) forment un système d'équations linéaires, auquel il suffira de joindre les conditions accessoires (3).

Fi — o, ..., Fj— o

entre n variables indépendantes x^, . . .^ x^ et m fonctions

Wj, . . ., Um sera en général incompatible, si le nombre i de

ses équations surpasse le nombre m des fonctions inconnues.

Supposons en effet que les équations données renferment

les dérivées partielles des fonctions u jusqu'à l'ordre yj. Joignons à ces équations leurs dérivées partielles successives par rapport aux diverses variables indépendantes. Il arrivera nécessairement un moment où le nombre des équations obtenues surpassera celui des fonctions u et de leurs dérivées partielles qui y figurent. En effet, lorsque nous prenons les dérivées partielles d'ordre A' des équations primitives, nous ob-

tenons i—^ —. équations nouvelles; cl autre

j3art, nous introduisons comme nouvelles inconnues les dérivées partielles d'ordre p -\- k des fonctions u, dont le

nombre est m — ^ —r\— — — ^e nombre sera