I.2...(/?-hA
inférieur au précédent, dès que A commencera à satisfaire à
l'inégalité
A partir de ce moment, le nombre des équations successivement obtenues croîtra plus vite que celui des inconnues et finira par le surpasser. Eliminant alors ces inconnues, on obtiendra une ou plusieurs relations <^ï> = o, (ï>, = o, ... entre les variables Xi, . . . , Xn', celles-ci étant indépendantes par hypothèse, on voit que les équations données seront incompatibles, à moins que <I>, <I>,, ... ne soient identiquement nuls, ce qui donnera autant d'équations de condition nécessaires pour que les équations F| = o, ..., F/^^o puissent subsister simultanément.
235. On voit de la même manière qu'un système de m équations aux dérivées partielles
Fj— o, ..., F^— G
entre ^, , , . . , Xn et m fonctions lit, . . . , Um peut en général être ramené à un système d'équations
ÉQUATIONS AUX DfilîIVÉFS PARTIKLLES. 3o3
ne contenant plus qu'une seule fonction inconnue u^ ; car, en joignant aux équations proposées leurs dérivées partielles successives, il arrivera un moment où le nombre des équations obtenues surpassera celui des fonctions Wo, . . ., Um et de leurs dérivées partielles. L'élimination de ces inconnues donnera de nouvelles équations <ï> = o, ^i = o, ... entre ^<, . . . , Xfi, U\ et ses dérivées partielles.
236. Considérons un système d'équations aux dérivées partielles
entre les variables indépendantes x^, . . . , ^/^ et m fonctions Wi, . . . , ?/to; et soit rk l'ordre des dérivées partielles les plus élevées de la fonction ui^ dans ces équations. On pourra, en remplaçant x^^ . .., x,i par de nouvelles variables indépendantes
l JK« —- ^nl^i -\- • ' '-\- C,j,iX ,1^
choisir les constantes c, de telle sorte que chacune des dé- . ,, ^ • • • ? -, ,., 5 • • • ii£ure dans les équations trans-
nvees
formées.
Va\ effet, on aura
(Chacune des dérivées partielles des fonctions «,, . . ., Uf^ par rapport aux variables x^^ . . . , x^ s'exprimera donc linéairement au moyen des dérivées partielles du même ordre prises par rapport aux nouvelles variables^', , • • - 1 J'/i-
Posons, pour abré^^er,
d^^fT:7dxf — ■^«••••«'>' L'une au moins des équations données , par exemple
3o'| TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.
F^rrro, Contiendra des dérivées pariielles d'ordre r, de la fonction u^ ; soient
P<x^...'x'„, Poil... y.",,,
ces dérivées partielles. La dérivée -~ sera de la forme
A~ — ^o~f~ ^i/^ai-t-i,...,a„-i- ^2Pai+i, ...,a'^--- • • ,
G<, Go, ... n'étant pas identiquement nuls et ne contenant, ainsi que Gq, aucune dérivée de Ui d'ordre > /'< .
Transformons cette équation par la substitution (5); il viendra
ÔF, ÔF, ÔF,
/^a;+l,...,a'„"- (<?ll^ -i--..-^C„i-^ ) ' ... [cya^-^^- -^Cnn-^-] '^^h
R' étant linéaire par rapport aux dérivées partielles d'ordre r< -4- I de la fonction Ui, autres que celle que nous avons mise en évidence.
Les autres dérivées d'ordre /'< H- i qui figurent dans l'expression de -v-^ donnent un résultat analogue.
On aura enfin
Fo, r,, ... ne contenant les nouvelles dérivées partielles
de Ui que jusqu'à l'ordre /'<.
dF.
On aura donc, pour transformée de -y — , l'expression
dF, dF,
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 3o5
Rne contenant pas la dérivée -^-r^- D'ailleurs le coefficient de — — — j- ne peut être identiquement nul; car, en l'exprimant au moyen des anciennes variables x, il devient
Gi c^i'^^ . . . c, :: -h ijr,c.: - . . . c
et comme Gi, G2, ... ne sont pas identiquement nuls, il ne peut évidemment s'annuler que pour des valeurs particulières des constantes c. En ayant soin d'éviter ces valeurs, on voit que
contiendra la denvee -r— — r? ce qui serait évidemment impossible, si Fi ne contenait pas la dérivée -^-7-*
237. Nous nous bornerons à considérer le cas où les équations transformées ont pour premiers membres des fonctions
distinctes des dérivées -, — -? •••? -^; — -- En les résolvant
par rapport à ces dérivées, nous pourrons mettre le système sous la forme normale
à/? " ' àfr
^,, ..., 4>,„ étant des fonctions des variables indépendantes ;Ki, ...,jK«,des ionctions w<, ..., Um et de leurs dérivées partielles jusqu'à l'ordre r< , ..., rm respectivement (celles de ces dérivées qui figurent aux premiers membres étant
exceptées).
Théorème. — Les quantités y ^^ ..., y m U\, •••, Um, .••7
, ., ^ „ — ) ••• qui fleurent dans les fonctions <ï>,, ..., ^m
étant traitées comme des variables indépendantes, soit J. — Cours, HT- 20
3o6 TROISIÈME PARTIE. — CIIAPITIIE III.
a<, . . ., an^ ^Jo-o • • •> K\---^ • ••' ^a,a,...5 • • • un système quelconque de valeurs de ces variables aux environs duquel <[>!, .... ^„i soient développahles par la série de Taylor. Soient d^ autre part
des fonctions quelconques de y 2, .-., y, 71 développahles par la série de Taylor aux environs du système de valeurs a^i . . ., ani, et telles en outre que V on ait en ce point
On pourra déterminer, et cela d^ une seule manière , un système de fonctions u^^ . . .;, Um des variables y ^, . . ., y„, développai? le par la série de Taylor aux environs du point a^, . . ., a,j, et qui satisfasse aux équations (6) ainsi quaux conditions initiales suivantes :
Sdui . d''^-^ u.
lh^^2,
Cette proposition fondamentale est due à Cauchy. M*"^ de Ivowalewska en a donné une démonstration élégante, que nous allons reproduire.
238. Considérons tout d'abord le cas où les équations aux dérivées partielles proposées sont du premier ordre, linéaires et homogènes par rapport aux dérivées partielles, et ne contiennent pas les variables indépendantes, de telle sorte que le système (6) se réduise à la forme
(iz=ri, 2. . . ., m; k=^i,2, . . ., m; l=z 2, . . ., n), où les G sont des fonctions de Wj, . . . , Um,
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. Soy
L'énoncé du théorème général se réduira alors au suivant :
Soient 6', . . ., 6'" un système de valeurs de U\, . . ., «/«, aux environs duquel les fonctions G soient développables par la série de Taylor; a^, ..., an d'autres constantes quelconques. Soient^ d'autre part, cp<, ...^ cp,„ des/onctions de yo, ■■', Ym qui se réduisent respectivement à 6\ ..., b"'^ pour y.^=:z a-^-, •••, .y«= <^«? et qui soient développahles par la série de Taylor aux environs de ce système de valeurs. On pourra déterminer d'une seule manière un système de fonctions u^, . . ., u,n des uariabtes y^, . . . , yn, développahles par la série de Taylor aux environs du point y^z=z a^^ . . .^ y,i = a,i^ qui satisfassent aux équations (8), et enfin se réduisent respectivement à cp^^ ..., (Dmpoury^z=ai,
Nous supposerons, pour simplifier l'écriture, que a^, ..., «„, b* , . . ., b"^ soient nuls, ce qui ne nuit pas à la généralité de la démonstration, car on pourrait au besoin prendre pour variables indépendantes jki — ^i, . . ., yn — an et pour fonctions inconnues u^ — 6', ..., Um~b^\ enfin, considérer à la place des fonctions cp^, ..., ^m les fonctions o, — ^', ..., cp,„— h^.
D'après les hypothèses faites, les fonctions G^^ sont développahles en séries, de la forme
(9) Gi, = ^Ai^;t..«^
Ces séries étant convergentes tant que les modules de u^. «2? • •• seront assez petits, on pourra déterminer deux constantes M, r, telles que l'on ait
ikl
et, a fortiori^
On aura de même
f'='^H.K.Ayî'---'
3o8 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.
et l'on pourra déterminer deux constantes N, p, telles que l'on ait
( " ) I iip. p.... I < — p j|;r:."-- ^î^.
Les fonctions cliercliées U{, ..., ?«,„, devant être développa- Lies suivant les puissances de j^,, . . ., y,^ pour ri = o, seront de la l'orme
cp/,, cp/2, ... étant des séries qui procèdent suivant les puissances dejKo, ..•,r«-
Remplaçons, dans les équations (8), les fonctions GJ^.^, puis les fonctions ui par les développements (9) et (12), et égalons les coefficients des mêmes puissances de jki dans les deux membres; nous obtiendrons, pour déterminer les coefficients o^, , . . ., Z)i^, . . ., une série d'équations de la forme suivante :
^i,\t.+i étant une somme de termes dont chacun est le produit: 1° d'un entier positif; 2" d'un des coefficients A; 3° d'un produit de séries cp dont le second indice ne surpasse pas jji; 4" d'une dérivée partielle de l'une de ces fonctions (p.
Les formules (i3) fourniront, par voie récurrente et sans ambiguïté, les valeurs des diverses fonctions cp/j^ sous forme de séries procédant suivant les puissances de r2, ..., JK/?, chaque terme ayant pour coefficient un polynôme formé avec les coefficients A, B et dont chaque terme est affecté d'un facteur numérique positif.
Nous trouvons ainsi une solution unique; mais, pour prouver qu'elle est acceptable, il reste encore à établir la convergence des séries obtenues.
239. Or il est clair qu'on diminuera les chances de convergence en remplaçant les coefficients A, B par les limites supérieures (10) et fi i) de leurs modules; mais nous allons
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. SoQ
prouver que, même dans ces conditions défavorables, la convergence subsiste lorsque JK<, ..., J^« sont suffisamment petits. On a, en effet, dans ce cas,
€t de même
Ui 4- «2 +
en posant, pour abréger, jr2 4- • • • + Jn -- t-
Les équations aux dérivées partielles deviendront donc
€t les conditions initiales seront
Posons
(i5) Ui~- pour/i — o.
Les équations (i4) et(i5) se réduiront aux deux suivantes:
(17) "^"^r-i poui*/i=o-
Or l'équation (16) étant mise sous la forme
son premier membre est le jacobien des deux fonctions ^ et
3lO TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.
ni'h
I — j t -i-MmÇn — ■i)yi. Elle équivaut donc à la relation
F étant une fonction arbitraire. Cette fonction sera déterminée par la condition (17), laquelle donne
L 'HP-OJ V?-
ou, en posant
= t', d où t:=
/■ / N -h (^ Donc à sera déterminé par l'équation
Les deux racines de cette équation se réduisent respectivement a zéro et a — pour jki = 0,^=0. Aux environs de ce système de valeurs, elles sont développables en série convergente suivant les puissances de y^ et de t. Prenant celle de ces deux séries qui s'annule pour y^ = o, 1 = 0, on aura la fonction cherchée <}^(jKi) O1 dans laquelle on n'aura plus qu'à substituer ^=jK2 + « • '-^yn pour obtenir les développements de Ui, . . . , «/,i, qui seront évidemment convergents tant que les
modules des variables y seront moindres que ? R dé-
signant le rayon de convergence de la série ^(jKi, t) par rapport aux variables j^^ et t.
240. La démonstration du théorème général du n° 237 se ramène aisément au cas particulier que nous venons de discuter.
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 3ll
Prenons, en effet, pour variables auxiliaires les dérivées partielles
(}/^' dyf-
Pu,,'Xi,...1
qui figurent dans les équations (6) et, pour plus de symétrie, posons en outre Ui= Po,o,...' ^es équations (6) et (7) deviendront
(18) pi-,,o,...,o = ^iifu •-, yn,Pl,o,...^ • • • ' /4.,a, ...,-■'),
(19) ^a„o,o,...--?f' pourri = ai et a^ < r,-.
Ces dernières équations, dérivées par rapport à r^, ■■■^ ym donneront plus généralement
( 20 ) /?^„a. ..,a„ = ;^- -^~-- pour /, == a, et a, < n
et, par suite,
Enfin, si l'on pose J^^^ = «, dans les équations (18), il viendra
(21) p^.,o,o,... = */(^«^i,---.r«j?i.---. j^^— r-^'--- ) pourr — «1.
Aux équations («8), (19), (20), il faut encore joindre celles qui définissent les dérivées partielles />a„a2,...,a„,5 à savoir
Api
(22) --^-'-^^" — /?a,+ i,o,o,..., si a,<ri et
( 23) /-?^,.a....,a„=- -T^,-; ^.^^-7- ' Si a^ -h . . . + a, ,> o.
Les relations (20) et (21) expriment d'ailleurs que les équations (23) et (18) sont satisfaites pour J'^=:ra^. En tenant compte de cette condition, on pourra évidemment remplacer ces équations (23) et (18) par leurs dérivées partielles par rapport à y^ .
On trouve ainsi, en supposant ao >> o par exemple,
rin^ /^)i+a,-i-...-+-a„ ,J A,J
t//>a,,a.,.. „a„ (' ^ "Pa.fiO,... Opa
y.,-hi,'x.
Si 7,2 était nul, mais a^ >> o, on trouverait de même
^/^a,.o.ot3,... <^/^a,+i,o,«,,— ï....
et, enfin, si ag, . . . , a/;, étaient nuls, d'où a.
Prenant enfin la dérivée partielle des équations (18) par rapport àjKi, et substituant dans le second membre aux dérivées partielles des p leurs valeurs (22), (23'), (23^'), ..., (23"0> il viendra
/ <?/? ^.0,0,... <^*^ , V ^^J—r^fc
àpla,,... ^/2
241. Nous avons ainsi remplacé le système des équations (6) et des conditions initiales (") par celui des équations (22), (23y, (23)", ..., (23)'^^ et (24) et des conditions initiales (20), (21). Nos nouvelles équations sont du premier ordre et linéaires; mais elles ne sont pas homogènes et contiennent encore en général les variables indépendantes jKo • • 'lyn- Pour achever de les réduire à la forme voulue, introduisons de nouvelles variables auxiliaires t^, . . . , tn définies par les équations
Elles satisfont aux équations aux dérivées partielles
, ^. dty du dt„
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 3l3
et aux conditions initiales
(26) t^--a^, t.,=iY-2^ '", in~yn pourri — <^1-
11 est clair que ces conditions suffisent à les déterminer. Joignons ces conditions aux équations précédentes et transformons d'ailleurs celles-ci : 1° en y remplaçant dans les dérivées partielles de <ï>f- les variables indépendantes j^i, .-.jjK// parles quantités équivalentes t^, ..., t„; 2" en multipliant tous les termes des seconds membres qui n'ont pas en facteur
une dérivée partielle des inconnues p par y- > qui est évidemment égal à I. Cette transformation opérée, les inconnues p et t seront fournies par un système d'équations linéaires et homogènes du premier ordre, auquel on devra joindre les conditions initiales (20), (21), (26) qui ont lieu pour >'i = a^.
Les valeurs des variables ^< , . . . , tn et /?a„a2,. .,a„ po'^ii' y^ --ai, . . ., yn=- ciii sont d'ailleurs a,, . . . ^ an et ^a„aj,..,a„- Aux environs de ce système de valeurs, les fonctions ^i sont par hypothèse développables suivant la série de Taylor; il en sera de même de leurs dérivées partielles.
Toutes les conditions nécessaires à l'application du théorème du n° 238 se trouvant ainsi remplies, nous obtiendrons pour les inconnues t et />, et en particulier pour les inconnues primitives
des séries procédant suivant les puissances dejKi — <^\-, • ••» yji — a,i et satisfaisant à toutes les conditions du problème. Les fonctions ut ne sont définies par ces séries que dans la région où celles-ci sont convergentes; mais on pourra suivre leur variation de proche en proche par les mêmes procédés que nous avons employés pour l'étude des équations difTérentielles à une seule variable indépendante.
3l4 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.
242. Considérons Féq nation aux dérivées partielles linéaire et du premier ordre
(i) Pi/?i-h...-hP„/?,,^Z,
où Pi, . . ., P„, Z sont des fonctions des variables indépendantes Xi, . . ., x,i et de la fonction inconnue z] p^, . . ., p,,
désignant les dérivées partielles -r-^-, • • • ? y^-
La fonction z étant supposée définie par une équation implicite
cherchons à déterminer la forme de la fonction <ï>, de telle sorte que l'équation (i) soit satisfaite.
L'équation (2) dérivée par rapporta Xi donnera
Substituant dans (r) les valeurs des dérivées partielles /?; tirées des équations (3), il viendra
Pour que la valeur de z tirée de (2) satisfasse à l'équation (i), il sera donc nécessaire et suffisant que Féquation (4 ) soit une conséquence de (2).
Gela posé, intégrons le système des équations difî'érentielles
dx^ dx„ __ dz
Les équations intégrales, résolues par rapport aux constantes d'intégration C^, . . ., Cni prendront la forme
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 3l5
cp,, . . ., On étant des fonctions de ^,, . . ., Xn, z. On sait (42) qu'en posant
F désignant une fonction arbitraire, l'équation (4) sera identiquement satisfaite.
Nous obtiendrons donc une solution de l'équation (i) en déterminant ^ par l'équation
Mais il n'est pas établi que cette solution soit la seule possible, car il n'est pas nécessaire, pour qu'on ait une solution, que l'équation (4) soit identique. Il suffit qu'elle soit satisfaite pour tous les systèmes de valeurs de x^, . . ., x^ z qui satisfont à <ï> = o.
Pour déterminer les autres solutions, s'il en existe, nous remarquerons que les équations (5) ayant pour intégrales générales les équations ((3), les équations (5) ou les équations équivalentes
P2 dx^ — Pi dx^ =0, . . . , P/i dxy — Pi dxn '-=^ o,
Z dx^ — Pi dz = o
sont des combinaisons linéaires des équations
On aura donc, en désignant par A,,, ...; Bj, ... des fonctions de ^,, . . ., Xn-, z faciles à déterminer,
(7 ) Pj dxy — Pi dxi= A/i <icpi -^ . . . 4- AjVi <^'f „,
(8) Z dx^ — Pi dz = Bi (icpi + . . . H- B„ ^cp„.
Multiplions les équations (7) respectivement par /?<, ..., pi^ ... et retranchons-en l'équation (8). En tenant compte
de l'identité
dz ■=. pi dxi M- . . . -h /?„ dXf^
et posant, pour abréger,
\ kikPi— B^T^G^t,
3l6 TR0ISIÈ31E PARTIE. — CHAPITRE IIÎ.
il viendra
( Pi/?i -t- . . . 4- ^nPn — Z) dx^ -- \ Ca d'Of,.
Si nous supposons l'équation (i) satisfaite, cette équation se réduira à
Si donc les quantités G^ ne sont pas toutes nulles, les différentielles d'^^y ..., d'^n seront liées par une relation linéaire, et l'on aura entre les fonctions cp une relation .
C'est la solution trouvée tout à l'heure. Reste l'hypothèse
Ci=:0, ..., C/,= 0,
Ces équations, combinées avec l'équation donnée
déterminent/?,, ..../>„, ^ en fonction de x,, ..., Xn- I^es valeurs ainsi obtenues fourniront une solution si elles satisfont aux relations
dz
ce qui n'aura évidemment lieu que dans des cas très exceptionnels.
