Applications. — i° Soit à intégrer l'équation aux
dérivées partielles
dz . dz ôœ oy
des cylindres parallèles à la droite [x=^az,y^=^ b.z). On formera le système
dx __ dy ,^
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. SlJ
dont l'intégrale générale est
œ — <2^ = 6', f — bz:=Ci.
L'équation proposée a donc pour intégrale générale
<î>(^ — az, y — ^^)=r:0.
2" Considérons l'équation aux dérivées partielles
^ (^^ f r^\àz
des cônes ayant leur sommet au point a, p, y. On formera
le système
dx clv clz
X — a y — |3 z — Y dont l'intégrale générale est
log(^ — a)zrrlog(^ — Y)H-const.,
log(^ — p) =^ lo8'(^ ~ ï) + const.
ou
= const., ' ri:; const.
L'intéerrale cherchée sera
f X — CL y —fj\
3" Considérons l'équation aux dérivées partielles
des surfaces de révolution autour de l'axe - = — = -
Nous aurons le système
dx dy dz
Soit dt la valeur commune de ces rapports ; on aura
dx =z (y/ — P ^) dt, drz=L{o(.z — -^(x) dt, dz-=zz{^x— a r ) dt.
3l8 TROISIÈi<[E PARTIE. — CHAPITRE III.
On en déduit immédiatement les combinaisons intégrables
œ dx -\- ydy -{- z dzz^o,
OL dx -i- ^ dy -\- ^( dz r=zo\ d'où
^--r-y^-h ^'= const, ax -h ^y -h ^z=z const.,
et l'intégrale cherchée sera
^{x'-i-y--^ z^, OLX -h pjK + Y-^) =^ ^•
4*^ Soit, en dernier lieu, l'équation
dz dz
dx '^ dy
qui définit les fonctions homogènes de degré n en x^ y. On
formera le système
dx dy dz
X y nz'
d'où
— r= const., — == const..
L'intégrale générale sera donc
ou, en résolvant par rapport à — ^j
x"- -^ \y et enfin
244. Passons à l'étude des équations aux dérivées partielles du premier ordre en général.
Soit
une équation entre n variables indépendantes ^i, ..., x„,
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. Sig
une fonction z de ces variables et n constantes arbitraires «1 , . . ., Œn. En éliminant ces constantes entre l'équation <I> = o et ses dérivées partielles
nous obtiendrons, en général, une seule équation aux dérivées partielles
(il) F(^, ^1, ...,^„ ;/?!,...,/?„) =0.
La fonction s, définie par l'équation (9), sera une solution de cette équation, quelles que soient les constantes <2,, ..., a„.
Une semblable solution a reçu le nom à^ intégrale complète. Il est aisé d'en déduire les autres solutions de l'équation aux dérivées partielles.
On pourra, en effet, dans cette dernière équation, faire abstraction de la condition que/>i, ...,/?„ soient les dérivées partielles de 5, pourvu qu'on y joigne la relation
(12) dzr=ip^dx^-+- . . . + p^dXfi^
qui exprime précisément cette dernière propriété.
Gela posé, l'équation (11), résultant de l'élimination de <2|, . . . , a,i entre les équations (9) et (10), sera algébriquement équivalente à celles-ci, pourvu qu'on y considère les a, non plus comme des constantes, mais comme des inconnues auxiliaires.
Nous aurons donc à déterminer les inconnues z, a^^ . . . , a„, /?<, . . . , pfi par les équations (9), (10) et (12).
Cela posé, différentions l'équation (9), il viendra
— - az -h -r — dxi -I- ... 4- -^ — da, -h . . . -f- ^^ — da» = o oz dûT.^ da^ oa^
ou plus simplement, en vertu des équations (10) et (12),
(10) -:i — «<2. -f- . . . H- -r — da,, ■= o.
oai da^
Cette nouvelle équation aux différentielles totales pourra
320 TROISIÈME PAllTIE. — CHAPITRE 111.
remplacer l'équation (12) pour la détermination des fonctions inconnues. Il existe plusieurs manières d'y satisfaire : i"* On peut d'abord poser
Ces n équations, jointes à (9) et (10), achèveront de déterminer une solution, à laquelle on donne le nom à'' intégrale singulière.
'2" Si les - — ne sont pas tous nuls, l'équation aux différentielles totales(i3)montre qu'il doit exister au moins une équation de condition entre les inconnues <2,, . . . , aa- Admettons qu'il en existe k distinctes, à savoir
On en déduira, entre les différentielles da^^ . . . , dan, les k relations
dfi — o, ..., dfu~o,
dont l'équation (i3) devra être une conséquence. On aura donc identiquement, en désignant parX,, . . . , Xa des facteurs convenables,
•— - <iai -H . . . -1- -.— da„ — \ dj\ -h ... 4- \kdfi, ;
d'où, en égalant les coefficients des diverses différentielles dai,
dat dat dai
Ces équations, jointes au système (g), (10), (i4 )> détermineront toutes les inconnues du problème, y compris les multiplicateurs \. Les fonctions /<, . . . ^ fk restent d'ailleurs arbitraires.
Le système de ces solutions, renfermant des fonctions arbitraires, se nomme Vintégrale générale.
Si nous donnons, en particulier, à k sa valeur maximum n^
les quantités a, étant liées par n équations, seront des constantes, d'ailleurs arbitraires. Nous retrouvons donc, comme cas particulier de l'intégrale générale^ l'intégrale complète d'où nous étions parti.
On voit par cette analyse que la recherche des solutions d'une équation aux dérivées partielles du premier ordre
(i6) F(i;,^i, .. .,^„;/-?i, ...,y^„)=ro
se ramène à la détermination d'une intégrale complète.
Plusieurs méthodes ont été proposées pour arriver à cette intégration ; nous allons exposer les trois principales.
