Méthode des caractéristiques . — Posons, pour abréger
et soit
(17) Z-=:^^{.Xi, ...,^„),
une solution quelconque de l'équation proposée. A chaque système de valeurs de x,, . . . , Xn correspondra un système de valeurs de z et de ses dérivées partielles /?<, . . . , /?,^.
Nous appellerons éléments de la solution considérée les divers systèmes de valeurs simultanées de :r<, . . . , x^, z-, p^, . . . ^ p,i qui satisfont aux équations (i7).
Soit z^^ x]^ p] l'un de ces éléments. Supposons qu'on fasse varier les quantités Xi à partir de leurs valeurs initiales jt'J*, de manière à satisfaire constamment aux équations différentielles
(.8) i^=...= '^^=dt,
t désignant une variable auxiliaire, dont la valeur initiale soit nulle.
Les systèmes de valeurs successifs de ces quantités, associés aux valeurs correspondantes des quantités s, y?/, donne-
J. — Cours, III. 21
ront une suite d'éléments de l'intégrale, à laquelle nous donnerons le nom de caractéristique .
246. Soient ^,.27/,/?^ l'un de ces éléments; z -\- 8^, Xi-\- ùxi^ pi-\-^Pi un élément quelconque de l'intégrale, infiniment voisin de celui-là. On aura, par définition,
(ig) 5s = />i 0^1 + . ..-!-/>,, 5.T,,,
et, en dési2:nant par Pif( les dérivées secondes -^ ^^ — j
(20) ùpi=Zpiy OJ?i -+-... -H Pi,, 8^,,.
Soit z -h dz, Xi~\- dxi, Pi + dpi un nouvel élément encore infiniment voisin du premier, mais situé sur la caractéristique ; on aura de même
(21) dz =^ Pi dxi -\-. . .^ Pu dxn,
(22) dpi — pi^dx^-v-. . .^ pir^dx^.
L'équation (lô), différentiée par rapport aux 8, donnera
Zoz 4-^(X,ôX-H P/8/^/) = o,
et, en remplaçant les quantités P^, 8^, ^pi par leurs valeurs tirées des équations (18), (19), (20),
o^S{Xi-\-piZ)^Xi-^^^j?a.
dxi dt "
Permutant les indices i et k dans la somme double et tenant compte de l'équation (22), il viendra
tiXi
et, comme les ^xi sont entièrement arbitraires, on en déduira
(23) X,4-/;,Z+^ = 0, (^-zrrl, ...,/0.
Enfin la différentiation de l'équation (i 6) par rapport aux d
donne
0 — T.dz-\-
\ X/ dxi H- Vi dpi
et, en remplaçant les dxt^ dpi par leurs valeurs tirées de (i8) et (23),
(2/4) o — dz — y ViPidt.
Les éléments successifs de la caractéristique satisferont donc aux équations (18), (aS), (24), qui peuvent s'écrire
, „, d.Ti dpi dz
(25) -^=... = - ^' ■=....= — .=dt.
p. X,+/.,Z Jp^^
Ces équations différentielles, jointes à la connaissance des valeurs initiales z^^ ^j-, p^^ des variables ^, ûOi,pi, déterminent complètement la loi de leur variation. Elles sont d'ailleurs indépendantes de la fonction <ï>. Nous obtenons donc ce résultat remarquable :
Toute intégrale qui contient l'élément z^., ^°, pj contiendra tous les éléments de la caractéristique correspondante.
247. Les équations différentielles (26), intégrées en partant du système de valeurs initiales 5**, x^^, p^ , donneront, pour Zj Xi, Pi, au moins tant que les quantités Z, X/, P/, n'auront pas de points critiques, des valeurs parfaitement déterminées
(26) Xi=r^i{t,z',xlpf),
Ce système d'équations représentera une caractéristique pourvu que les valeurs z^, x% pf satisfassent à l'équation
(27) V{z\œ\, ...,xlpl ...,pl)=^o, qui caractérise les éléments des intégrales.
Les valeurs des variables ^, ^/, /^/correspondaiU a; x divers éléments des intégrales sont ainsi exprimées en fonction des 2n-h 2. paramètres t^z^, ^'nPn ^^^ derniers vérifiant l'équation (27)-
En laissant z^, x]^ p] constants et faisant varier t^ on obtiendra une infinité d'éléments formant une caractéristique. On doit toutefois excepter le cas où les valeurs de z^^ x^l , p^ annuleraient simultanément toutes les quantités P/, X^ -\- pfL^ car les intégrales des équations (aS), se réduisant alors à
^ -— ^ > ^i^^^ ^' i y pi '—-Pi j
seraient indépendantes de t, et la caractéristique se réduirait à son élément initial.
Enfin, en faisant varier z^, x'-^p^, on passera d'une caractéristique à l'autre.
Soit maintenant
(28) z=:^^{j:i, ...,x,,), pi—-^
une intégrale quelconque. Pour qu'elle contienne un élément donné z, xi^ pt, il faut et il suffît qu'elle contienne l'élément initial z^ , x^ , p'^ situé sur la même caractéristique, ce qui donne les équations de condition
Ces n -\- i équations, jointes aux équations (26) et (27)^ caractériseront les éléments qui appartiennent à l'intégrale. On retrouvera donc les équations (28) de l'intégrale en éliminant les paramètres t, z^j x^j p^ entre les équations (26),
248. Réciproquement, considérons l'ensemble des caractéristiques pour lesquelles les paramètres z^^ x] , p] sont liés par 71 + I équations de condition quelconques
(30) CT:n=:o, ..., V5,^z=iO.
Entre ces équations et les équations (26) 61(27), ^" pourra éliminer les paramètres 2^, ^°, /jJ", ^, et l'on obtiendra ainsi, entre les variables z, Xi^ /?/, n -f- i équations,
d'où l'on pourra tirer en général les valeurs de z et des /?/ en ionction des xi.
Le système des éléments qui satisfont à ces équations constituera une intégrale si les valeurs ainsi-obtenues satisfont aux relations suivantes :
et
219. L'équation (3i) est identiquement satisfaite. Soit on effet, z^ ^/, pi un élément quelconque du système considéré.
En donnant aux paramètres t et z^^ x]^ ])\ des accroissements infiniment petits, dt et 8s^, ^x\ ^ ô/>^^ , ces derniers compatibles avec les équations (27) et (3o), on obtiendra un élément z -|- As, xi-\- A^/, /J>/+ A/?/ infiniment voisin du premier, et les différentielles totales As, A^/, A/>/ seront évidemment de la forme dz-\-'^z^ dxi-\-'^Xi^ dpi-\-Zpi^ en désignant par dz^dxi^ dpiles différentielles partielles provenant de la variation de t, par 8^, ^xi, 5/?/ celles qui proviennent de la variation des autres paramètres, s^, x^ , p] .
Les différentielles dz^ dx^ dpi satisfont aux équations (2 5), d'oii l'on déduit aisément les combinaisons suivantes
( 33 ) dz — y Pi dxi = o,
(34) o — T.dz-\-\ç^idxi^Vidpi)— ^fidt.
dt Donc F est indépendant de t. D'ailleurs, pour ^ = o, il se
réduit à
qui est nul en vertu de l'équation de condition (27).
250. Il reste encore à satisfaire aux équations (32). Ce système d'équations est équivalent à l'équation aux différentielles totales
Pi Aj?j==o.
Remplaçant A^j, A^/ par dz-\-ùz^ dxt -\- ^xi, et tenant compte de (33), cette égalité se change en
Bz \ pi0Xi = O.
Désignons par U le premier membre de cette équation, et cherchons comment il varie avec t.
On aura
d'ailleurs
Donc
dV
dJJ z=z doz —\ dpi o^i — \ pi d ùXi ;
<i 82 = 0 <i^ r=: \ {'^pidXi-\- pidùXi). = \ ( hpi dxi — dpi Ixi )
ou, en remplaçant les dxi^ dpi par leurs valeurs tirées des équations (^5),
^U =y (P/ Ipi 4- X,- Ixi H- Tpi Ixi) dt; mais l'équation F = o, différentiée par rapport aux 8, donne
Z Iz 4-^.(1"/ S/?/ H- X,- ^Xi) = o,
d'où
d\]— — Z Uz —Y Pi ox^ dt=z — Z\} dL
Cette équation intégrée donnera
- j Ldt
Uo désignant la valeur initiale de U.
Il est clair que, tant que Z n'aura pas de points critiques, comme nous l'avons supposé, l'exponentielle restera finie. Donc, pour que U soit identiquement nul, il sera nécessaire et suffisant qu'on ait
(35) oi=Uo=S^«— V pfoœl
251. Les solutions de cette équation aux différentielles totales se trouvent aisément par la méthode du n"^ 244.
Cette équation montre d'abord que z^ est une fonction des x^i . D'ailleurs, les 2 az -4- 1 quantités z^^ œ^ , /?[• étant liées par l'équation F = o et les ^ -|- i relations (3o), dont nous cher chons à déterminer la forme, il existera une relation au moins entre les quantités x^ . Supposons qu'il en existe k distinctes, telles que
(36) ^,(:r;,...,0 = o, ..., ^/, = o, et soit en outre
(37) ^o = iF(^;,...,^o).
On déduira de ces relations par la différentiation
L'équation (35) devant être une conséquence de celles-là, on aura identiquement
Uo == S^ — y a" 5.r« =: Xi oVF, -+- . . . -h X/, Sïïi-^,
les ). étant des multiplicateurs convenables. Egalant séparément à zéro les coefficients des diverses différentielles S^c.- ,
on aura les n équations
(38) 5ïo-ft->.^o+--- + ^A:j^y>
qui, jointes aux équations (26), (27), (36), (37), représenteront l'intégrale, les fonctions XT, Wi, . . ., ^F^ restant arbitraires.
252. La solution précédente donne lieu à diverses remarques :
1° Le système d'éléments déterminé par les équations précédentes ne représente une intégrale, dans le sens attaché jusqu'ici à ce mot, que si l'on peut en tirer les valeurs explicites des quantités ^, /?/ en fonction des xi^ ceux-ci restant indépendants. Il n'en serait pas ainsi dans le cas particulier -où l'on pourrait déduire de ces équations une ou plusieurs relations entre les xi. La considération de ces systèmes, qui ne fournissent pas des intégrales proprement dites, est pourtant utile dans beaucoup de cas. Pour en tenir compte, il conviendra d'élargir la définition de l'intégrale en donnant ce nom à tout système d'éléments z, Xi, pt dépendant de n variables indépendantes et satisfaisant aux relations
F = o, dzzzz j)^ dx^ H- . . . -h /?,j dXfi
2° Nous avons admis dans notre analyse que le système des valeurs initiales z^ ^ x^ , p^ représentait un point ordinaire pour les fonctions Z, X,-, P^- et n'annulait pas simultanément les quantités P/, X/-|-/?iZ. S'il existait donc quelque intégrale dont tous les éléments fussent des points critiques de Z, X/, P/ ou annulassent les P/ et les X/ ~\- /?/Z, elles échapperaient à la méthode précédente; mais il est clair que ces intégrales singulières ne peuvent se rencontrer que dans des cas particuliers.
253. Parmi les intégrales fournies par notre analyse, il en est deux qui méritent une attention particulière.
FQUATIONS AUX DÉIIIVÉES PARTIELLES. 829
La première s'obtient en posant k = n. Les quantités ^^, ^^^, satisfaisant ainsi à n + i relations, seront des constantes; leurs différentielles 82^, 8^)* seront donc nulles et l'équation (35) sera identiquement satisfaite.
On voit donc que les équations (26), (27) de la caractéristique représentent une intégrale si l'on y considère les 5^, œ^ comme des constantes arbitraires et les p^ comme des inconnues auxiliaires.
L'intégrale ainsi obtenue est une intégrale complète, car elle contient n (et même n -i- i) constantes arbitraires. D'autre part, on ne peut déduire des équations qui la définissent aucune équation aux dérivées partielles
distincte de la proposée F = o; car, si l'on avait une semblable identité; en y faisant ^ = 0, on trouverait
relation qui ne résulte pas des équations (26), (27)-
2o4. On obtiendra une autre intégrale remarquable en admettant qu'il n'existe entre les paramètres z^, x^\ que les deux relations
(89) ^0= T(^o, . . . , xl), x\ = const.
Les autres équations à joindre à celles de la caractéristique pour obtenir l'intégrale seront, d'après l'analyse précédente,
Pour la valeur particulière cT, = ^J, on aura ? = o, ^2 = -^! v> z = z^. Ces valeurs initiales étant liées par la relation (39), on voit que nous avons résolu le problème de déterminer une intégrale z satisfaisant à la condition
z =z'^{x^, . . ., Xfi) pour ^j-:=a7°,
33o TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.
W désignant une fonction arbitraire. L'existence d'une semblable intégrale avait déjà été établie au n° 23o.
255. Lorsque le nombre des variables indépendantes se réduit à deux, les résultats qui précèdent peuvent s'interpréter géométriquement.
Une intégrale ^ = <ï>(:c<, ^2) représente une surface. Chaque système de valeurs de z, Xi, x-2 représente un point; p^, p.2 sont les coefficients de l'équation du plan tangent. Chaque élément de l'intégrale définit donc un point et le plan tangent correspondant.
L'équation aux dérivées partielles
devient, en y remplaçant /;<, p^ par leurs valeurs tirées des équations de la normale,
^1 — ^t ^2—^2 ^ — - Px " P'i ~ — I ' -r -r ^\ — 0^\ ^2 — -^2 \ ^
équation d'un cône, dont la normale sera une génératrice.
Une caractéristique représentera une courbe et la développable circonscrite à la surface intégrale le long de cette courbe, et le théorème du n° 246 pourra s'énoncer ainsi :
Deux surfaces intégrales tangentes en un point z^^ x\^ x\ sont tangentes tout le long de la caractéristique déterminée par ce point et le plan tangent correspondant.
Toute surface intégrale aura pour génératrices des caractéristiques. En particulier, l'intégrale complète du n"" 253 sera formée par l'ensemble des caractéristiques issues d'un même point.
256. Première méthode de Jacobi, • — Soit à déterminer une intégrale complète de l'équation
(4o) F(^, ^1, ...,Xn,Pu ...,/?„) = 0.
On peut réduire le problème au cas où z ne figure pas explicitement dans l'équation.
Supposons en effet z déterminé par l'équation
On en déduira
Substituant les valeurs de /?< , - - >•, pn ainsi obtenues dans (4o), il viendra
Si donc nous déterminons une fonction V des n -+- 1 variables Zy x^^ ..., Xn qui satisfasse identiquement à cette équation (laquelle ne contient pas V explicitement), on obtiendra une solution de Téquation primitive en déterminant z
par l'équation
Si d'ailleurs la solution V que l'on a trouvée contient n constantes arbitraires 6,, . . . , bn-, de telle sorte que le jaco-
bien J des quantités -. — par rapport à ces constantes ne soit
pas nul, la valeur de z sera une intégrale complète de l'équation primitive; car, d'une part, elle contient n constantes arbitraires et, d'autre part, le jacobien i^ des quantités
— \- Pi -^ par rapport aux constantes b ne sera pas identiquement nul; car, en y donnant aux quantités pt les valeurs particulières o, il se réduit à J. Donc on pourra tirer des équations (4^) les valeurs des constantes pour les substituer dans (4j )-, ce qui fournira une seule équation F = o.
257. L'équation ^ = o étant résolue, pour plus de simplicité, par rapport à -^j prendra la forme
Désignons par H ce que devient le second terme de cette
équation lorsqu'on y remplace les dérivées partielles j— par
des indéterminées/)/; et formons les équations différentielles ordinaires
. ,wv dxi dl\ dpi ^H
dz dpi^ dz dxi
Nous allons établir que la détermination d'une solution V de l'équation (44) satisfaisant aux conditions requises et l'intégration du système canonique (45) sont deux problèmes entièrement équivalents.
258. Supposons, en effet, qu'on ait obtenu la solution demandée
Les équations
<^^^ ôJ=P" ^•=^^''
où les ai désignent de nouvelles constantes arbitraires, seront lïntégrale générale du système (45)-
En effet, les équations (46), différentiées par rapport à la variable indépendante z, donnent
d'\ Y ^-V dTf, dpi
dxi dz Zjk àxi ôxfc dz dz^
(^7) i ^2 Y ^ ^--V dxk
dbi dz ^k àbi dxk dz
Mais, d'autre part, en remplaçant dans l'identité (44) les ^ — par leurs valeurs /?/, elle deviendra
^-^^ = "' el, en prenant les dérivées partielles, par rapport aux Xi et
aux biy on trouvera
dx: dz ' /jf, dpk dx; ' dxi '
' d'\ ^;^ d\\ djH
dbi dz U ^ailleurs on a
d'où
ànj^ ^ ^^ àPk ^^V^
c/^'j- (}^/ ()xV(; (?èj ~~ dbi ôx/.
Substituons ces valeurs dans les équations (48) et retranchons ensuite chacune d'elles de sa correspondante du système (47;); il viendra
Zjk(^'^'idx,, \ dz àph) ^ dz dxi^
Zukàbidxk \ dz dpk) ~~
Ces équations sont linéaires et homogènes par rapport
. , dxf, dW dpi dl\ T^, .,1 1 1.
aux quantités —, :; — , —. h -^ D ailleurs le determi-
^ dz Opk dz oxi
nant des coefficients n'est autre chose que le jacobien J des
dérivées partielles -z — par rapport à b^^ ..., 6,^, lequel, par
Ox i~
hypothèse, n'est pas nul. Nous obtenons donc, comme conséquence des équations (4^), le système d'équations différentielles
dxj, dW dpi àW
dz a pic dz oXi
qui n'est autre que le système (45)'
259. Réciproquement, supposons que par un procédé quelconque nous ayons réussi à obtenir une intégrale générale des équations (45). Elle fournira les valeurs des Xi, pi
en fonction de z et de ^n constantes arbitraires c,, . .., €2/1^ Soient d'ailleurs ai, bi les valeurs des Xi^ pi pour une valeur initiale donnée z^ de la variable z. On pourra déterminer les constantes c au moyen des a/, bi. Substituant ces valeurs dans les équations intégrales, celles-ci prendront la forme
(49) Xi-=zfi{z,a^,...,a,„b^,...,ba),
(50) />,— cp,(^, Cly, . . .,an, ^, ..., bn),
où les ai, bi peuvent être considérés comme de nouvelles constantes arbitraires.
Le jacobien I des fonctions // par rapport k a\, . . . ., a,i n'est pas identiquement nul ; car, pour la valeur particulière z =z^^fi se réduisant à «/, I aura pour valeur l'unité.
Les équations (49) peuvent donc être résolues par rapport aux ai et fourniront les valeurs de ces quantités en fonction des z^ Xi, bi. Il résulte de là que toute fonction des quantités z, Xi, pi, ai, ^/ peut s'exprimer à volonté, soit par les z, ai, bi seulement, soit par les z, Xi^ bi.
