Gela posé, désignons par U ce que devient la quantité

lorsqu'on l'exprime au moyen de 5, ai, bi', et considérons l'expression

V— y a/,6/,+ f \}dz.

Changeons simultanément z. en z -\- dz , et ai, bi en ai-\- oai, bi-h obi] ^i sera accru de la quantité

dont nous représenterons respectivement les deux termes par dxi., 8^/; /)f et V éprouveront des accroissements analogues

^Pi—dpi-\- ^pi,

(5i) ^\=:dV-{-oY^Vdz-h\ iak^bk + h/M,,)-^ f h\] dz. Or on a

dpk

dll . ^H . \

-^ OX/, — -— Opk )

dx^ dp/c j

ou, en supprimant les termes qui se détruisent et remplad^ d

tielles (45)

çant ^ — ? -y— par leurs valeurs tirées des équations difFéren-

opk Oocjc

D'ailleurs

<:/^ Lui\àai dbi / o':;

^jlLi^-^^^-^^-^^')"'" -^^- ^

d'où

8u=y p,:^.^^PHx,^^

^yt ^/^ dz dz ^ic

Pk ^Xf

D'autre part,

Substituant ces valeurs dans (5i), il viendra

A V — \ ( /?/- dx/, -^ pfc ^xj, 4- aj, ùbf,) — Il dz = \ {Pk ^^k + cik S6/,) — lî r/;;.

Celte relation entre les différentielles totales AV, A.r^, ^bfc dz montre que, si l'on exprime V en fonction des variables z^ Xki hk-, on aura

(53) g=-Il.

Les équations (62) donnent, entre les variables^, xj^^ pk et les constantes ak, b^, in relations nécessairement distinctes 5 car chacune d'elles contient dans son second membre une quantité p on a qui ne figure pas dans les autres. Ces équations ne sont donc autre chose que le système des équations intégrales (49) 6t (5o) mises sous une forme nouvelle.

Quant à l'équation (53), elle se transforme, lorsqu'on y

ôV "' remplace les p^ qui figurent dans H par leurs valeurs -^^ y

en l'équation aux dérivées partielles (44)*

La solution V que nous avons ainsi obtenue pour cette équation satisfait aux conditions requises; car elle contient n constantes arbitraires b^, . . ,, bn, et d'autre part le

jacobien J des dérivées -^ — par rapport à ces constantes n'est

pas identiquement nul; car, en donnant à z la valeur parti-

culière z^ . -. — := pu se réduisant à bk. J sera éeral à l'unité.

' axj, ^

On voit immédiatement que si, à la solution V que nous venons de trouver, on ajoute une nouvelle constante arbitraire a, on aura une nouvelle solution V -f- a à ii-\-\ constantes arbitraires, et qui sera une solution complète de (44)-

261 . Nouvelle méthode de Jacobi et Mayer. — Les deux méthodes précédentes pour l'intégration des équations aux dérivées partielles du premier ordre ont pour caractère commun de ramener le problème à l'intégration complète d'un système d'équations aux différentielles ordinaires.

Jacobi a donné une nouvelle méthode, considérablement

perfectionnée depuis par MM. Lie et Mayer, dans laquelle on considère successivement une série de systèmes d'équations difTérentielles, dans chacun desquels il suffît de déterminer une seule intégrale. Cette méthode s'applique d'ailleurs sans difficulté, ainsi que nous allons le voir, à la recherche des solutions communes à plusieurs équations aux dérivées partielles simultanées.

Soient

(54) Fi(^i, ..., ^„, /?i, ..., /?„) = o, ..., F„,=:o

ces équations, où nous supposerons pour plus de simplicité qu'on ait fait disparaître la fonction inconnue par l'arlifîce du n° 256. Pour que ces équations aient une solution commune, il faut et il suffit qu'on puisse déterminer des fonctions Pi des variables indépendantes Xi^ qui satisfassent à la fois à ces équations et auK relations

qui expriment que /;< «'/^i +...-!-/>// f/^/^ est une différentielle exacte; car l'intégration de cette différentielle donnera immédiatement la valeur correspondante de z.

262» Soient Fa = o, Fp = o deux quelconques des équations données. Prenons la dérivée de la première par rapport à Xi\ il viendra

doct Zuk àpk àxi Multipliant par -r— ^ et sommant par rapport à ?, il vient

Zji àxi dpi ZjiZdk dpi dpk dxi On trouvera de même, en permutant a et p,

Zâi àxi dpi 2ui Zuk àpi âp/c ôxi

J. — Cours, [II. 22

Retranchons cette équation de la précédente après avoir permuté les indices de sommation i et k dans la somme double; il vient

\ 2^i\()xi dpi dxi dpi)

\ +Y V ^^(^^j^Vo

\ Z^ijLJkàpi dpk\dxi dook)

Mais la somme double s'annule en vertu des équations (55). On aura donc simplement

A.insi, des équations primitives Fi = o, . , ., F„i= o, jointes aux conditions (55), on déduit entre les Xi^ pi de nouvelles relations

(Fc„Fp) = o.

Si parmi ces équations il en est qui ne soient pas une conséquence algébrique des équations (54), on pourra les leur adjoindre, recommencer les mêmes opérations sur le système ainsi complété, et ainsi de suite. On arrivera finalement, soit à un système contenant plus de Ji équations distinctes, auquel cas le problème sera impossible, soit à un système

(57) Fj— o, ..., lV=o,

tel que les équations nouvelles (F^, Fp)= o qui s'en déduisent, ou soient identiquement satisfaites, ou soient, tout au moins, une conséquence algébrique des précédentes.

Lorsque cette dernière circonstance se présente, elle pourrait donner lieu à quelque incertitude. Pour la lever, résolvons les équations (57) par rapport à \k des quantités/? qui y figurent; elles prendront la forme

Les nouvelles équations

ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIFLLES. SSq

qui se déduisent de celles-là, ne contiennent plus/?i, ••-iP^j.'i elles ne peuvent donc être une conséquence des équations précédentes. Elles fourniront donc des relations nouvelles, qui permettront de continuer la série de nos opérations, à moins qu'elles ne soient identiquement satisfaites.

Nous arriverons donc nécessairement, ou à constater l'impossibilité du problème, ou à former un système

(57) F,=:o, ..., F^=o, jouissant de la propriété qu'on ail identiquement

(58) (Fa, Fp)=:0.

Un semblable système a reçu le nom de système complet.

Une équation unique Fi = o peut être considérée comme constituant un cas particulier des systèmes complets, correspondant à [JL == I.

263. Etant donné, en général, un système complet tel que (57), cherchons à déterminer une nouvelle équation

<pr=0,

qui, jointe aux précédentes, forme encore un système complet.

Le premier membre de cette nouvelle équation devra satisfaire aux ^ équations simultanées aux dérivées partielles

(59) o = (T, Fa)=2,,U^ ^- ~ ^- 5^; *•

Ces équations linéaires forment un système jacobien, d'après la définition du n*^ 63.

En effet, on a

Zui\àoCi dpi dpi dxi) Zjk\djc,, dpk àpk dx,j'^ ZAi\dxi dpi dpi dxij Zj/c\àx/c dp a- àpk dx

'Il

. do . do\

àX;, ÔpkJ

en posant, pour abréger,

dF^ d'F^ dFa, à'F

dxi dpidpk dpi dxidpk ( d

dF^ à^F, __ dF^ J^F^ I ~ Wk ^'' ^^'

dxi dpidpk dpi docidpk

i ^Fg d'-F^ r)Fa d'^F^

\ dxi dpidxj, ôpi dxidx/. )

Mais (Fa, Fp) est identiquement nul; donc les A^, B;; sont nuls, et notre proposition est démontrée.

Le système (69) admet donc des solutions et son intégration se ramène à celle d'une seule équation linéaire aux dérivées partielles à in — [a variables, ou, ce qui revient au même, à l'intégration d'un système de 2/^ — inéquations linéaires ordinaires. On connaît d'ailleurs [jl solutions du système, à savoir F^, . . . , F^;,. L'ordre du système s'abaisse donc encore de [jl unités et se réduit à in — 2[x.

264. Supposons qu'on en ait trouvé une intégrale o,, laquelle, en tant que fonction des p, soit distincte de Fi, . . . , ¥^. 11 est clair qu'on peut y ajouter une constante arbitraire a<, sans cesser d'avoir une intégrale. Donc le système

Fi = o, ..., cpi+fz, = 0

sera complet.

On déterminera de même une nouvelle équation cpg -f- <^2= o contenant une constante arbitraire «2 et formant avec les précédentes un système complet, en trouvant une intégrale d'un système d'équations différentielles d'ordre m — 2 [jl — 2, et l'on continuera de même jusqu'à ce qu'on ait obtenu un système complet

Fii=o, ..., lV = o,

Fjj.+i =:cpi4-a, = 0, ..., F„t^cp,,.jj,H- <2«j;.=:0.

ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. Sz+l

Les valeurs des /?/, fournies par ce système, rendront p^dx^-\- . > .-\- Piidxn différentielle exacte; car, en tenant compte des relations (Fa, Fp) = o, les équations (56) se réduiront à

Z^iZuk àpi dpk\dœi dxk)

Le déterminant R des quantités -p- n'est pas nul, car nous

avons opéré de telle sorte que les Fi, ..., ¥ ,i fussent des fonctions distinctes des/?/; donc les quantités

Y à¥^/dpk dpi\ Zdkdpk\àxi dx,J

que ces coefficients multiplient seront nulles. D'ailleurs le

■JT-T

déterminant des coefficients ^— -^ est encore écral à R et dif-

àpk férent de zéro. On aura donc

dpi, __ dpi^ __ dxj ôxf, ~ '

ce qu'il fallait démontrer.

265. Les quantités /?<, ...^p^ étant déterminées par les équations Fi = o, . . ., F,,^ := o, il ne restera plus qu'à intégrer la différentielle exacte />, dx^ +... + /?„ dxa- On trouvera ainsi

a étant une nouvelle constante arbitraire.

Nous obtenons de cette manière une solution du système des équations aux dérivées partielles F4 = o, . . . , Fj;, = o, contenant n — |jl -h i constantes arbitraires, et qu'on pourra appeler une solution complète du système.

En prenant les dérivées partielles de z par rapport aux diverses variables ^, , . , . , Xn<, on obtiendra les équations

manifestement équivalentes aux équations

F,=rO, ..., Fjj^=0,

De cette solution complète on déduira immédiatement toutes les solutions du système

(60) Finro, ..., l\ = 0.

En effet, soient z une semblable solution; /?,, ..., p^ ses dérivées partielles; enfin a,, . . . , a,i,^^^ a des inconnues auxiliaires, déterminées par les relations

\ z — ^(a^i, . ..,Xr„ ai, ...,a„^) — a == o. On aura, en différentiant cette dernière équation,

D'ailleurs, des équations (60) et (61), on déduit d^ d^

et, comme

dz ^=: pi dxi H- ... 4- p„ dxn^

l'équation de condition (fia) se réduira à

d'il (Vj

(63) y^r/rti-i-. . .-f- - — ' — da,i^^-^ dy-^no.

Cette équation aux différentielles totales s'intégrera comme au n*^ 244.

266. Il existe une classe particulière d'équations aux dérivées partielles auxquelles on peut étendre la méthode d'intégration par différentiation exposée au n° 34 pour les équations différentielles ordinaires.

Soient, en effet, Z, X,, . . . , X/^, Pi, ..., P^ p fies fonc-

lions des i?i-^i variables ^, ^,, . • . , x„, /><, ..., /?«, satisfaisant identiquement à la relation

Supposons que, les variables x^, . . . , ^« restant indépendantes, on pose

dz dz

et qu'on veuille déterminer z par l'équation

on aura là une équation aux dérivées partielles du premier ordre qu'il s'agit d'intégrer.

En la différentianl, on aura

dZ = o

et, en tirant la valeur de <iZ de l'identité {6^) et remarquant qu'on a par hypothèse

dz = /?, dxy H- . . . -h /?„ dxn^

P,^Xi-|-...+ P„^X„ = o.

On pourra satisfaire à cette équation aux différentielles totales :

1° Ou bien en posant

P, = o, ..., P„=ro:

ces équations, jointes à Z = o, détermineront une intégrale singulière ;

2° Ou bien en posant entre les X un certain nombre d'équations de condition

/, =:0, ..., fic—O

qui, jointes aux suivantes,

r> >, àf, , df,

OXf (J\i

et à l'éqnation Z = o, fourniront une intégrale générale.

Pour trouver la forme générale des équations aux dérivées partielles du premier ordre auxquelles la méthode précédente est applicable, nous aurons à déterminer, par le procédé qui a déjà été exposé plusieurs fois, la forme générale des fonctions Z, X/, P/, p qui satisfont à l'équation aux différentielles totales (64).

267. L'équation aux différentielles totales (64) équivaut évidemment au système des équations suivantes aux dérivées partielles

OJii ^k àxi

àpi Ljk àpi

Ces équations peuvent être remplacées par d'autres, d'une forme très remarquable, et que nous allons établir.

Nous désignerons, pour abréger, par — — l'opération T ^/^^T-' ^* P^^ ^^ symbole [UV] l'expression

ruvi =^V /'^ ^Z ^ i^EV Zji\Opi d^i dpi dxi)

A. la place des équations (66), on peut écrire les suivantes

dxi £^ii ' dxi '

qui s'en déduisent, en y ajoutant la première équation multipliée par Pi,

Cela posé, donnons aux variables indépendantes ^, .r/, pi deux systèmes distincts d'accroissements infiniment petits dz^ dxi, dfi et 8:;, 8^/, 8/>/, satisfaisant aux relations

(69) dz-=\pidxi, U—\pidxi.

Soient <fZ, <iX/, d^t et 8Z, 8X/, SP^ les ditFérentielles correspondantes de Z, X;, P^-.

L'identité

<^Z— \P,-^,=:p(^^— \ pidxA,

difFérentiée par rapport aux S, donnera, en tenant compte

de (69),

S dZ — y (SP,- d\,-\- Vi 0 dXi)

= p 8 t/^ — \ ( ^pi dxi -h pi 8 dxi) .

Permutant les d avec les 8 et retranchant la nouvelle équation ainsi obtenue de la précédente, il viendra

(70) S{dVi SX, - ^X, 8P,) = ^Sidpi ^Xi~ dxi ^pi). Or on a, d'après la relation (69),

de même

Substituons ces valeurs dans l'identité (70) et égalons séparément à zéro les coefficients des diverses différentielles

dpji^ dxii, il viendra

d'où, en changeant les 8 en <i et résolvant par rapport auj quantités dx^^ dp^,

Ces équations doivent être identiques à celles que l'on obtiendrait en résolvant les équations (71), (72) par rapport aux dxf(, dp/(. Les deux déterminants

dxj.

àpk

dP,

dx, "

àpk

I dPi

P àpk

? dpk

I dPi

1 dXi

p dxk

pdxk

satisfont donc à la relation AA, = i .

Mais, d'autre part, si dans Ai on permute les n premières lignes avec les n dernières, puis les n premières colonnes

wec les n dernières, si l'on fait sortir du déterminant les facteurs - et — I, communs à une même ligne ou à une même

P colonne, et enfin, si l'on permute les lignes avec les colonnes,

il viendra

De cette équation, combinée avec la précédente, on déduit

Donc, si p n'est pas nul, A sera différent de zéro. On en déduit que les fonctions Z, X/, P/ sont indépendantes. Considérons en effet leur jacobien

dx^

àpn

dX,

^ll

dxi

àpn

dPn

dxi

àpn

En sîjoutant aux colonnes de rang 2, . . . , /^ -}- i la première colonne, respectivement multipliée par />,, . . .,/->/o on aura

dZ dZ dZ^

dz dxi Ùpn

àX, dX, dX,

dz dxi ôpn

dz dx^

àprt

Retranchons de la première ligne les n suivantes, respectivement multipliées par Pi, . . . , P,2 ; il viendra, en vertu des