SifestcontinueetdLfférentedezéroaupoiiit (a,ù
- sera continue en ce point.
Soient, en cflet, Ax, Aj', ... un système d'accroissemenls donnés à .r, r, ... ; A/ l'accroissement correspondant de /*;
celui de — sera
et, si I Ayl << l/l, son module sera au plus égal à
l/ILI/i-lVlJ
et sera moindre que £, si l'on a, en outre,
Or il suffît, par hypothèse, pour être assuré que ces inégalités sont satisfaites, d'assujettir | A^ |, | ^y |, ... à rester inférieurs à un nombre fixe 3.
6^. Une fonction J\jc,j-, . . .) est dite continue dans un ensemble E, si elle est continue en chacun de ses points.
Si cet ensemble E est borné et parfait, la continuité y sera uniforme.
Ce terme demande quelques explications.
Soit, en général, o une fonction de deux séries de variables x'^ j', ... et /i, .... Supposons que, pour chacune des valeurs de .r, r, . . . contenues dans un ensemble E, o tende vers une limite déterminée lorsque Ii, ... tendent vers des
limites données a L'ensemble de ces valeurs limites
sera une certaine fonction <ï> des variables oc^ y, ....
On pourra, par définition, pour chaque nombre positif s et pour chaque point (-r,J', • • •) de E, assigner un nombre
positif 0, tel que Ton ait toujours
dès que \h — a |, ... sont < o.
Il existe, d'ailleurs, une infinité de nombres o satisfaisant à cette condition; car, si elle est remplie pour une valeur de 0, elle le sera pour toute valeur plus petite. Nous désignerons par A le maximum de ces nombres o (si la condition était satisfaite pour toute valeur de o, A serait infini).
Nous obtenons ainsi, pour chaque valeur de £, un ensemble de nombres positifs A correspondant aux divers points de E. Cet ensemble de nombres admettra un minimum r, positif ou nul, lequel ne dépend plus que de £, et la condition (i) sera satisfaite pour tout point de E, tant que l'on aura
Si donc T, reste ^ o, quelque petit que soit s, on pourra, pour chaque valeur positive de s, assigner un autre nombre positif Ti indépendant de x^ y^ ... et tel que l'on ait, pour tout point de E,
!'^(^,7, .. .,/i, .. .) — *(ji;, r, ...)| <£
dès que \h — a |, ... sont << r,.
On dira, dans ce cas, que la fonction cp converge unifoiinément vers sa limite <I> dans tout l'ensemble E.
Appliquons cette, notion à une fonction y(^,j', .. .) continue dans l'ensemble E. D'après la définition de la continuité, f{x -i- h, y -^ k, . . .) tend vers /(^, JK, . • •) lorsque h k, ... tendent vers zéro. Ella continuité sera uniforme si l'on peut, quel que soit s, trouver une quantité positive Yj indépendante de x^ y^ . . . et telle qu'on ait, pour tout point
de E,
|/(x + /z,/4-/r, ...)-fix,r, ...)|<£
des que
63. Ces explications données, procédons à la démonslra- J. - I. 4
tion du théorème. Il nous faut établir que le minimum 'r\ des nombres A correspondant aux divers points {x, jk, • • . ) de E est nécessairement >> o.
Supposons que 'r\ fût nul. L'ensemble des A contiendrait des nombres moindres que toute quantité donnée. Donc E contiendrait une suite indéfinie de points po, fi, • • 'tPn, • • • pour lesquels A serait respectivement moindre que s,
Ces points admettraient au moins un point limite FI, puisque E est borné; mais E est, en outre, parfait; il contiendrait donc le point H.
Cela posé , on pourrait (28) déterminer, dans la suite Pq, /?,, />2, . .., une suite indéfinie de points /?a„5 Pa.j •••5 yPa„j • • • convergeant vers II et tels que olq, cHi, . . ., ol^ aillent en croissant; les valeurs correspondantes de A étant moindres
que —- > • • -j — :-? • • • décroîtront indéfiniment.
On pourrait donc trouver dans E un point tel que son écart à n et la valeur de A qui lui correspond fussent simultanément plus petits que toute quantité donnée. Ce résultat entraîne une contradiction. En effet, la fonction / étant continue au point H == (xq, y^^ • • •)' ^" peut assigner une quantité positive 5' telle que l'on ait
dès que
et il est aisé de voir que pour tout point 11'::== {x\ y' ^ . . .)
de E dont l'écart à II est <! — > le nombre A sera au moins
égal à -
Soit, hypoth(
en îse
effet.
On
aura, par
el, a fortiori^
Gela posé, on a^ si \ h \<^ — , \ k \ <C — , - • -,
car |/i + //|, |A- + Â-'|, ... et | AM , | A-^ , ... étant < û', chacun des deux termes du second membre est << -•
64. Théorème. — Soient f, fi, ... des fonctions de x^ jr, . . . continues dans un ensemble E; et soit F V ensemble des points (/, /i , . . .) cjui correspondent aux divers points de E.
i" Si¥j est borné et parfait , F le sera également.
2" Si E <?5^ d^ un seul tenant, F /e sera également.
Supposons, en effet, que E soit borné et parfait. Si F n'était pas borné, on pourrait y déterminer un point ^o, où la somme
fût plus grande qu'un nombre donné quelconque L; puis un autre point ^i, oii cette somme fût >- 2L; un autre point ^27 où elle fût >> 4L, etc. Soient /?o, />i, /'s, ... les points correspondants de E. Ils seront tous différents, car/*, /"^ , ... n'ont qu'un seul système de valeurs en chaque point de E. Leur nombre étant infini, ils admettent au moins un point limite II, lequel appartiendra à E. Et l'on voit, comme au numéro précédent, qu'il devrait exister dans E des points dont l'écart à II fût moindre que toute quantité donnée, la valeur correspondante de s étant en même temps plus grande
que toute quantité donnée. Ce résultat est contradictoire. Soit, en effet, a- la valeur de s au point H. La fonction s étant évidemment continue, pour tout point de E dont l'écart à FI est moindre qu'un certain nombre ô, la valeur de s reste comprise entre les deux nombres fixes o — s et cp + s.
Il reste à prouver que F est parfait, c'est-à-dire contient son dérivé F'. Soit q' un point de F' vers lequel converge une suite infinie Ço^ ^, , ..., Çn, ... de points de F. Les points correspondants de E, p^^p^^ ...^p,i^ ... seront tous distincts, car à chaque point de E répond un seul point de F. Cette suite admet donc au moins un point limite H, appartenant à E, et contient une suite de points /?a,, Pa^j Pa.^ • • • qui convergent vers n. Les points correspondants de F convergent vers le point ^ de F qui correspond à II-, mais ils convergent vers q' . Donc, q' se confond avec q et appartient à F.
Supposons enfin que E soit d'un seul tenant et montrons qu'il en est de même de F. Soient ^ et Q deux points quelconques de F ;
p^{œ,y,...) et P = (X,Y, ...)
les points correspondants de E; on peut les relier par une chaîne de points intermédiaires /?,, /?o, ..., telle que l'écart
I ^/,+i — Xj, I + I J/,+ 1 — //, I -h . . .
de deux points consécutifs
Pk = ( ^k, y'k, • . • ) et />/,+ 1 =: ( xi,^^ , yk^^, . . )
et, a fortiori, chacun des modules
I ^/,+i -- xj, 1 , 1 7/,+i — y/, 1 , ...
soit moindre qu'un nombre donné quelconque tj.
Or, la continuité étant uniforme dans tout le domaine E, on peut prendre r, assez petit pour que toute valeur de / , chacune des quantités
|/(-^'^-^i,/A+i, • • •) — f{^k,yk, . • .) I
et, par suite, leur somme, devienne aussi petite qu'on voudra. Or, cette somme représente l'écart des points qu et qh-y^\ c["i correspondent à/^^fCt à/>A^<. Les points q, q^^ .. ., Q forment ainsi une chaîne où l'écart de deux points consécutifs est moindre qu'un nombre £ choisi arbitrairement. Notre proposition est donc établie.
Corollaires. — Considérons en particulier le cas où nous n'avons qu'une seule fonction y de ^, y, ... continue dans E : 1° si E est borné et parfait, F admettra un maximum et un minimum et les atteindra (25); 2^ si E est d'un seul tenant, F contiendra toute la suite des nombres compris entre son maximum et son minimum (34).
Si au lieu d'une seule fonction continue nous en avons plusieurs/, y,, ..., la fonction
jouira des propriétés ci-dessus.
60. Soient u^ p, . . . des fonctions des variables ^, J^, ... en même nombre que ces dernières, et définies dans un ensemble E. A chaque point (.r, y^ . . .) de E correspond un point («<, (^, ...); la réunion de ces derniers points forme un ensemble F.
Supposons qu'à chaque point de F corresponde réciproquement un seul point de E; on pourra considérer ^, JK, • • • comme des fonctions de m, ç», . . . définies dans l'ensemble F. Ce nouveau système de fonctions se nomme Vinverse du système de fonctions primitivement considéré.
Si V ensemble E est borné et parfait, et les fonctions il-, V, ... continues dans E, x,y^ . . . seront réciproquement des fonctions de u, ç^ . . . continues dans F.
Il nous faut prouver que, si l'on prend dans F une suite de points ^, = {Ui, Pi, ...),..., qn= {un, ^n, • ••)' ••• convergeant vers un point y (lequel appartiendra à F), les points correspondants/?! := (^i, ji , ...), .... pn= (^«, J/o ..),..•
convergeront nécessairement vers le point II qui correspond
Supposons qu'il en soit autrement; il existera un nombre £ tel qu'on puisse, quel que soit /i, trouver dans la suite />//+!, Pn+^1 ... un point /?a, dont l'écart à II soit >> £. Après celui-là on en pourra trouver un autre /?p, et ainsi de suite.
L'ensemble de ces points yOa,/?^, . . ., en nombre infini, admettra au moins un point limite II', dont l'écart à II sera encore ^£. On pourra déterminer dans cette suite un point />x dont l'écart à H' soit moindre qu'un nombre donné o, puis un autre point />fx pbis voisin de H' que p\ et dont l'écart à II'
soit << -j et amsi de suite.
Aux points /^x, p^^^ ... ainsi obtenus, correspondent dans F les point q\, q^, . . . qui tendent vers y. Mais, à cause de la continuité des fonctions «, p, ..., ils doivent tendre vers le point y' de F qui correspond à II'. Donc y = y', et ce point unique correspond à deux points différents II et O' de E, contrairement aux suppositions de Ténoncé.
66. Une fonction f{x^ jk, • . .) continue dans un domaine E borné et parfait est intégrable.
On peut, en effet, quel que soit £, trouver une autre quantité positive 'r\ telle que l'on ait
si I /i I, [ /i^l, ... sont<<ri. Si donc nous décomposons E en éléments e^ de diamètre < t,, l'oscillation Oa^ sera, dans chacun d'eux, << £. La condition d'intégrabilité sera donc satisfaite.
