V. — Fonctions à variation bornée
67. Soit y :=f(^x) une fonction d'une seule variable x^ bornée dans un intervalle ab qui contienne les valeurs particulières Xq et X>>^o- Donnons à x une suite de valeurs
croissantes ^o, ^i, . . ., Xn-\, X, et soient jko, JKi, . • ., Y les valeurs correspondantes de y. On aura
p désignant la somme des termes positifs, n celle des termes négatifs delà somme ci-dessus.
Nous dirons que p est la variation positive de y et // sa variation négative pour le système de valeurs Xq^x^^ . . .,X. La somme
■^\y'k—yk-A^p-^
sera sa variation totale.
En changeant le nombre et la position des valeurs intermédiaires Xs^ ..., Xa-K-t on pourra faire varier ces trois sommes. En particulier, si entre Xh-\ et Xj^ on intercale une nouvelle valeur ^, ces sommes conserveront leur valeur primitive, si /(i) est compris entre j^A-i el jka ; sinon/? et n seront accrus tous deux de la différence entre /(Ç) et celle des quantités jka-1 5 y h dont elle est la plus voisine, et t sera accru du double de cette différence.
Gela posé, admettons qu'un des trois systèmes de sommes /?, /z, t admette un maximum. Il en sera de même de chacun des deux autres, en vertu des équations (i) et (2). On dira, dans ce cas, que y est une fonction à variation bornée entre x^ et X.
68. Les fonctions à variation bornée, telles qu'elles viennent d'être définies, ont pour caractère spécifique de pouvoir être mises sous la forme
z el u étant des fonctions positives, bornées et non décroissantes entre Xq et X.
Pour le démontrer, considérons deux valeurs quelconques x'^ x" dans l'intervalle de .^o à X (^'^ étant supposé compris entre x' et X).
Soient
y'j y" les valeurs correspondantes dey;
/>', n\ t' les variations de y dans l'intervalle xx' pour un choix quelconque de valeurs intermédiaires x^^ X2, .. .;
//, n", t" les variations de y dans l'intervalle Xqx'^ en prenant pour valeurs intermédiaires x^, x.^^ • . -, ^'et d'autres valeurs quelconques x\^ ... intercalées entre x' et x" \
/?, /z, t les variations de y dans l'intervalle total ^yX, en prenant pour valeurs intermédiaires ^^ , . . ., .37', ^'^, . . ., x" .
On aura évidemment
j' — /o = /^' — fi\ y" — ro =^ p" — n",
P'lP"llh n' = n"ln, t'if'^^t.
Mais, par livpothèse, /?, /z, ^ admettent des maxima P, N, T. Donc,/?', n' ^ t' ei p' ^ n" ^ t" admettent aussi des maxima F, N^ T', P% W, T", et l'on aura les inégalités
desquelles il résulte que P', N', T' sont des fonctions de x\ positives de leur nature, et, en outre, bornées et non décroissantes de Xq à X.
Cela posé, en faisant varier le nombre et la position des valeurs intermédiaires x^^ x^i ..-, on peut faire en sorte que p' se rapproche indéfiniment de son maximum P'. La différence /?' — n^ étant constante, 11! se rapprochera en même temps de son maximum N'. L'équation
deviendra donc à la limite
ce qui montre que jk' est la différence des deux fonctions positives, bornées et non décroissantes
P' + /o4- c et N'-h c, c désignant une constante positive quelconque > — y„.
Réciproquement, siy = z — u, z el u étant des fonctions positives, bornées et non décroissantes entre ^o et X, sa variation totale t sera limitée; car on a, en désignant par z^^ z^^ . . . , Z et Wfl? U\^ "1 U les valeurs de z et de u pour
69. Soient y = ^ — "7 v^'^= ^' — '^' deux fonctions à variation bornée ; leur somme
leur différence
z^ u'—{ii-\-z') et leur produit
Zz'-i- un' — {uz'-{- ZLl')
seront évidemment des fonctions de même nature.
Enfin, si jr a une variation bornée, et si, de plus, son
module a un minimum ui différent de zéro, - aura une varia-
lion bornée.
■ En effel, sa variation totale
reste toujours inférieure à un nombre fixe.
70. Une fonction f{x) à variation bornée dans un intervalle ah est intégrable dans cet interçalle.
On a
cp(^) et ^{x) étant des fonctions croissantes et bornées. Il suffit donc de montrer qu'une semblable fonction ^{x) est intégrable.
Décomposons le champ ah en éléments Ch] soit 0^ l'oscil-
lation de la fonction dans e^; on aura
\Oke/,:^e\0
kl
e désignant le plus long des intervalles Ck-
Or, 'f (^) étant constamment croissante de a à ^, \ 0^^ représentera évidemment son accroissement total
Cette quantité est une constante; d'autre part, si les éléments eu décroissent indéfiniment, e tend vers zéro; donc
lim \ 0/feA= o, et cp(^) est intégrable.
71. Soit./(^) = cp(^) — '}(^) nne fonction bornée, et h un infiniment petit positif. Les fonctions cp(^) et ^(^) étant non décroissantes, cd(^ — Ji) et ^(^x — A) varieront toujours dans le même sens quand 4 décroît, sans jamais surpasser les valeurs fixes cp(jr) et ']^(cr). Elles tendront donc vers une limite, et leur diflrérence/'(.r — li) tendra aussi vers une limite, que nous représenterons par f(^x — o).
On voit de même quey(^ + 1i) tend vers une limite, qu'on peut représenter par/(^ + o).
72. Une fonction f{x), continue et à variation bornée dans V intervalle de Xq à X, est la différence de deux fonctions continues et non décroissantes.
En effet, f{x) ayant une variation bornée, on aura
'j>{x) et ^(^) étant des fonctions non décroissantes à variation bornée.
Considérons, en particulier, la fonction <^{x). Pour une valeur de x^ intermédiaire entre Xq et X, on aura
Si £ tend vers zéro, (f(x — s), cp(^ H- s), qui varient toujours dans le même sens, tendront vers des limites déterminées ^(x — o) et 'f (x + o), et l'on aura encore
(f{œ — o) <cp(^) ^cp(^ + o).
Si la différence z>(x -{- o) — '•f{x — o) est égale à zéro, la fonction cp sera continue au point œ; sinon, cette différence sera positive, et nous dirons que la fonction présente en ce [point une discontinuité égale à cette différence.
Cette discontinuité peut d'ailleurs se séparer en deux parties : la discontinuité antérieure 'f (^) — 'f{x — o) et la discontinuité postérieuj^e o{x -h o) — 'f(-^)-
La fonction o(^x) n'étant pas définie pour les valeurs de la variable << Xq ou >> X, nous n'aurons à considérer, pour x = Xq, qu'une discontinuité postérieure; pour^^iX, qu'une discontinuité antérieure.
Soient maintenant a, x deux valeurs quelconques de la variable; ^^, . . ., Xa une série de valeurs intermédiaires entre celles-là. Formons la somme des discontinuités
cp(a + 0) — ?(<^)
-h\ [cp(^/,H-0) — 'f (JP/,— o)] H- cp(^) — c|>(j? — o),
que nous désignerons par
Cette somme est au moins égale à cp(a-f-o) — 'f(<^^); mais nous allons voir, d'autre part, qu'elle ne peut surpasser cp(^)-cp(a).
Soit, en effet, \k un point quelconque intermédiaire entre Xk et Xkj^^ ; la fonction cp étant non décroissante, on aura
Soient de même Ço et \,i des points respectivement intermé-
6o PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE I.
diaires entre a et x^ et entre Xa et x^ on aura
cp(a-4-o) ^cp(^o) <t('^i — o),
On aura, par suite,
^ ?(?o) - o{a) +^ [oa,) - o(^,,)] + cp(^) - cp(|J 1
Cette somme restant ainsi inférieure à une limite fixe, quels que soient le nombre et la position des points de division^,, . . ., x,i, admettra un maximum S{a,x)^ que nous appellerons la discontinuité totale de la fonction dans l'intervalle de a à ^. Ce maximum sera compris entre cp(rt H- o) — (p(«) et '-^(x) — Y(a).
D'ailleurs, on a évidemment, d'après la définition des sommes S,
S(«, ^1, . . ., x) — S{a, Xi, . . ., ^/,) + S(^yt5 - . ., x);
d'où, en supposant que X/( conserve une valeur constante b et passant à la limite
S{a, x)z=zS{a, b) -hS{b, x).
On voit par là que la fonction S(xq, x) est une fonction de X non décroissante de Xq à X.
Posons maintenant
La nouvelle fonction ^i(.r) sera continue et non décroissante.
On a, en effet, h étant positit,
^^{x -^ h) — <fi{a^) ~ ^ {x ~{- h) — S{Xo, X -\- h) — o{x) -hS{Xo,x) =z o{x-^li) — o{x) — '^{x^ X -^ h).
VARIABLES RÉELLES. 6l
Cette quantité ne peut être négative, car S(^, x + A) est au plus égal à cp(^ + /i) — ^{^x)-
D'ailleurs elle tend vers zéro avec h\ car, ^(^x^x -\- h\ étant au moins égal à ç(^ + o) — 'f (-2:^), elle ne saurait être supérieure à cp(^H-A) — o(^4-o), qui tend vers zéro avec h.
La fonction non décroissante ^(^) admet en chaque point la même discontinuité que îp(^), puisque leur différence cc(.r) — '\{^oc') est supposée continue. Donc, dans tout intervalle, ']>(^) aura la même discontinuité totale que 'f (^r), de telle sorte que, en répétant les raisonnements précédents, on
aura
^\{^x) — ^,{x)-\-^{jc^,x),
^\{^x^ étant une fonction continue et non décroissante et 8(^07'^) représentant la même fonction que tout à l'heure. On aura donc
/(.r) = 'o{x) - ^{^x) ^ '^, {X) - .];, (^), . ce qu'il fallait démontrer.
VI. — Dérivées et intégrales des fonctions d'une seule variable.
73. Soity(^) une fonction d'une variable x^ définie dans i l'intérieur d'un domaine D.
Soient ^0 ^m point fixe intérieur à D; ô son écart de la frontière de D ; tout point .^^q-I- A où | A j << o sera encore intérieur à D.
Si l'expression
/(.ro+/0~/(.ro)
tend vers une limite fixe lorsque h tend vers zéro, cette limite s'appellera la dérivée de/(.r) au point x^ et se représentera pary'(^o)-
Si, pour tous les points intérieurs à D, /(^) admet une
dérivée, l'ensemble de ces valeurs constituera une nouvelle fonction, également définie à l'intérieur de D, qu'on nomme la dérivée de J{x) et qu'on représentera, avec Lagrange, par f'{x) ou, avec GauchjvP^r D/(^).
Toute fonction qui a une dérivée est continue.
En effet, l'égalité
donne
lim [/(^ + h) -f{œ)-\ =/' {œ) Mmh ^ o.
Si.f{x) se réduit à une constante, sa dérivée sera nulle. On a, en effet, ,
d'où
f'{œ) = limo =: o.
Si f{x) =. x^ sa dérivée est égale à i . Car on a
Il -~h~'' i
d'où
f {x) = lim 1 = 1.
