IV. — Fonctions continues

o9. Soit /(x, j', ...) une fonction des n variables x^ jK, . . . définie dans un ensemble E.

Soient (a, ^, • • •) nn point déterminé de E; A, A, ... des quantités variables, assujetties à la seule condition que le point (a -i- /i, 6 + A', . . .) appartienne aussi à E.

Si, pour toute valeur de la quantité positive £, on peut déterminer une autre quantité positive 8, telle que l'on ait

pour tous les systèmes de valeurs de A, A', . . . pour lesquels on a

VARIABLES RÉELLES. [^n

on dira que la fonction /(^,jK, • . .) est continue au point {a,b, ...).

La même idée peut s'exprimer sous cette forme plus abrégée :

La fonction /(^,j-; • • •) est continue au point (a, b, . . .) si

/(a + A, b-i-k, ...)-/{a,b, ...) tend vers zéro en même temps que A, A', ....

60. Soient /, fi, ... des fonctions des variables oo, y, ... définies dans E. Les divers systèmes de valeurs simultanées de ces fonctions correspondant aux divers points de E peuvent être considérées comme les points d'un autre ensemble F. Soit maintenant 'f (/,/) , • . •) une fonction des variables f,/\, ... définie pour tout point de F. Il est clair que '.p peut être considérée comme une fonction de x, y^ ... définie pour tous les points de E.

Une semblable expression se nomme une fonction de fonctions o\\ fonction composée.

Si les fonctions f, f^, ... sont continues au point (a, 6, . . .) et prennent en ce point des valeurs a, a, , ... ; si, de plus, la fonction cp est continue au point (a, a,, . ..), cette expression, considérée comme fonction de x^ y, . . . sera continue au point (a, b^ . . .).

En efTet, pour être assuré que l'accroissement de cp ait son module << î, il suffit, par hypothèse, que les accroissements de f, fi^ ... aient leur module <^ o ; circonstance qui se produira, par hypothèse, toutes les fois que les modules des accroissements de x, y^ ... seront moindres qu'une autre quantité fixe 'r\.

Les fonctions x-hy^ x — y^ xy étant évidemment continues pour tout système de valeurs de x, r, on obtient ce corollaire que la somme, la différence et le produit de deux fonctions continues sont continus.