i.7(Y-hi).. .(Y-t-/^ — I
Cette expression est symétrique en a et [i. Elle se réduira à un polynôme entier si a ou p est entier et négatif; car tous ses termes, à partir d'un certain rang, s'annuleront. Elle n'a d'ailleurs aucun sens si y est entier et négatif, car ses termes deviendraient infinis à partir d'un certain rang.
Excluons donc le cas où l'un des paramètres a, p, y serait entier et négatif; nous obtiendrons une série infinie, dont nous allons étudier tout d'abord la convergence.
Soit u,i le terme général; on aura
Un (i + /0(7 + n) 2
Lln-^Y (a + /i)(p -h /î) X
expression qui tend vers — quand n augmente indéfiniment.
La série sera donc absolument convergente si | x j <C i , divergente si I ^ I > 1 .
Soit enfin |^| = i. Admettons, pour plus de généralité, que a, ^, y soient imaginaires, et posons a. = y' -\- a!' i ^
p =r p'+ '^'L Y ^ f + y"/. On aura
[ri-^if[{n^iy
[(AH-a')24-a"2][(^-HP')2+p"2-] /i*4- 2(i H- y')/i3-1-. . .
/i*H- 2(aM- 1^')'^^
H-(i-Hy'
La série des modules sera donc convergente, et la série F(a, p, Y? ^) absolument convergente, si y' — a' — i3'>> o. Au contraire, si y'— ^-'— ^'<^^ la série des modules sera diver-
380. On peut former aisément une équation différentielle à laquelle satisfasse la série F(a, |^, y, ^)- En effet, considérons l'expression
* = AF H- B^F'-t- C^^F'^-i- DF'-h E^F%
011 A, B, G, D, E sont des constantes arbitraires. Le terme en x'^ aura pour coefficient
TA (y + /i) -h Bai (y h- n) 4-G/z {n — i) (v -I- 7i)~\
en posant, pour abréger,
La quantité qui multiplie q est un polynôme en n du troisième degré, et l'on pourra évidemment disposer des rapports des cinq constantes A, B, G, D, E, de manière à annuler ses quatre coefficients; on aura alors identiquement
<ï> rrr O.
On trouvera ainsi
381. En faisant varier les paramètres a, [3, y de la série F, on obtiendra une infinité de fonctions distinctes. Deux de ces fonctions seront dites contiguës si deux de leurs paramètres ont la même valeur, leurs troisièmes paramètres différant d'une unité.
Théorème. — La fonction F et deux quelconques de ses contiguës sont liées par une équation linéaire ayant pour coefficients des polynômes du premier degré en x.
La fonction F ayant six contiguës différentes, on aura ainsi
— ^- r= i5 équations différentes. Nous allons indiquer comment on peut les établir.
Considérons, par exemple, les trois fonctions
que nous représenterons, pour abréger, par
Soit N le coefficient de ^" dans F, formons son coefficient dans les fonctions F, ^F, F^ , , .2"F< , F, , ^F<. On trouvera
immédiatement les valeurs suivantes :
Pour F N
Y — I ( a H- Ai — I ) (p -h /i — I
.F, N^L 'liL±!l} ^^
On en déduit immédiatement que le coefficient de ^" dans l'expression
(A -f- B^) F + (G + D^) F i+ E^ Fi
N sera ésal au produit de — — tt : par une fonc-
tion entière du troisième degré en N. On pourra déterminer les rapports des constantes A, B, G, D, E de manière à annuler cette fonction. On trouvera ainsi
( y[ï — ' — (2T — '^ — 1^ — 0^^]F — y(ï — i)(i — ^OE-i ^ ( 4- (Y-a)(Y-p)^F,=:zo.
Les quatorze autres équations peuvent s'obtenir par un procédé identique. On simplifiera les calculs, soit en permutant les paramètres a et [3 par rapport auxquels F est symétrique, soit en profitant des équations déjà trouvées pour en obtenir d'autres, par l'élimination d'une des fonctions qui y figurent.
Trois fonctions
F(a,?,Y.^), F(a',?',Y'.^), F(a^?^Y^^), dont les paramètres diffèrent de nombres entiers, sont liées
sÉiUES. 365
par une équation linéaire, dont les coefficients sont des polynômes en X. En effet, ces trois fonctions se rattachent les unes aux autres par une suite de fonctions contiguës. Formant les relations qui existent entre ces fonctions, et éliminant les fonctions intermédiaires, on obtiendra l'équation cherchée.
382. Il est intéressant de déterminer la valeur de la fonction F(a, (3, y, x) pour ^ =: i , lorsque cette série est convergente.
Posons X = I dans l'équation (7) ; il viendra
d'où
Changeant, dans cette équation, yeny-i-i , Y+2, ...,y+/i — i et multipliant ensemble les équations obtenues, iJ viendra
^n(/^Y)n(/^,Y-a-P) n('^,ï--a)ii(/^Y-P)'
en posant, comme au § III,
Faisons tendre n vers oc; F(a, (3, y -1- /z, i) tendra évidemment vers l'unité ; on aura donc, en posant encore
(9) limn(/i,^) = r(^)
F(a ^ . ,^-^^l}Ih^l^z:^
383. Fonction Y. — La fonction r(:;), définie par les équations (8) et (g), jouit de propriétés nombreuses et importantes. Nous allons en établir quelques-unes.
On a évidemment
^ — f— Il d'où, en posant /i = co,
(lo) r(^-+-i) = :;r(^)
et, par suite, k étant un entier positif quelconque,
On a d'ailleurs, identiquement,
d'où
et, par suite,
