Théorème. — On a généralement

Cette formule est vérifiée pour /z = 2 par les valeurs cidessus de P2 et de Q2. Nous allons d'ailleurs montrer que si elle est vraie pour un nombre n, elle le sera pour /z -j- i .

En effet, ''^' se déduit de ^ par le changement de a^

en «/iH On aura donc

an+i{anQn-l + Q«-2 ) + Q/i-I <^«+l Q// + ^n-l

On voit par les formules (i) que les quantités Q/^ croissent au delà de toute limite quand n augmente. En effet, 'a,t étant au moins égal à i , on aura

Q«> Qn-l -H Qn-2> Qn~2 + Qn-3 + Q«-2> 2 Qn-2'

On déduit encore des formules (i) la relation

et, comme Pi Qo — Po Qi = ï > ^^ aura

(2) P«Q.-i~l\-iQ.= (-i)'^-^

On voit par là que P,; et Q/^ n'ont aucun diviseur commun. Les réduites sont donc des fractions irréductibles. On a enfin