PQ„-,-P,,Q

Qn-lQ

^ Qn-lQ.

Mais PQ,i i — P//i Q est un entier qui ne peut s'annuler; car on aurait

et cette fraction est moins approchée de A que ^. On aura donc

|PQ.-i-P.-iQ|^i,

et l'inégalité ne pourra avoir lieu que si

Q>Q.o contrairement à l'hypothèse faite.

390. Considérons maintenant une fonction A développable en série suivant les puissances entières et décroissantes d'une variable x. On pourra poser

A = aoH h

«0 désignant un polynôme en j;, et a, , a^, Posons

des constantes.

Si (j.^^ est le premier coefficient qui ne s'annule pas, k^ deviendra infini d'ordre {^, avec x. En le développant suivant

les puissances décroissantes de ^ , il viendra donc

at étant un polynôme de degré 'J.^.

Posons de même

on en déduira

a-i étant un polynôme en x du premier degré au moins. Continuant ainsi, on obtiendra un développement

A == (Iq h-

limité si A est une fraction rationnelle, illimité dans le cas contraire, a,, «.>, . . . étant des polynômes dont les degrés en x^ que nous désignerons par [x,, ixo, . . . , sont au moins égaux à l'unité.