Nous allons démontrer que, réciproquement, toute

fraction ^ telle que la différence A — ^ soit d'ordre < — 2v,

V étant le degré du dénominateur Q, est nécessairement égale à l'une des réduites précédentes.

En effet, considérons la série des nombres Vj, Vo, ...; soit Vrt, le dernier nombre de cette suite qui ne surpasse pas V. On aura, par h^ypothèse,

en désignant, pour abréger, par ( ^,^^^ j une expressi

d'ordre — (27 -j- i) au plus par rapport à ûo. On a, d'autre part,

d'où

ssion

P P.,Q-PQ.-t

Or on a

Donc le second membre de l'égalité précédente sera d'ordre inférieur à — (v -f-V/^.,). Donc il doit en être de même du premier. Mais le dénominateur Q//i Q est d'ordre v -h V/i, . Donc le numérateur doit être d'ordre <^ o. Mais c'est un polynôme, et son ordre ne peut être << o que s'il s'annule identiquement.

On aura donc d'où

et, par suite,

k étant un polynôme d'ordre v — V//, .

On voit par là que ^ ne sera irréductible que si v = v„,,

auquel cas le facteur k se réduit à une constante.