Proposons-nous de déterminer directement une frac

tion ^ dont le dénominateur Q soit de degré v, et telle que

l'on ait

Q " V-^^v+iy

On en déduit, en chassant le dénominateur,

AQ==:P-f-

II faut donc que, dans le produit AQ, les termes en -

disparaissent.

Soit, comme précédemment,

A = aûH- — -+--^-1-.

et posons

Le coefficient Gx du terme en — ? dans le produit AQ, sera évidemment donné par la formule

Cx = «x Bo 4- ax^.! Bi 4- . . . -h ax+v B^

Nous aurons à satisfaire aux conditions suivantes : (6) Ci = o, ..., Cv=o.

1° Si le déterminant

Av==

n'est pas nul, ces équations détermineront, sans ambiguïté, les rapports des inconnues B; la fonction Q sera déterminée à un facteur constant près; on obtiendra la valeur correspondante de P en calculant la partie entière du produit AQ. 2'^ Si Av est nul, les équations (6) ne détermineront pas complètement les rapports des coefficients B, et le polynôme Q contiendra plusieurs constantes arbitraires.

Dans tous les cas, les constantes arbitraires disparaîtront p du rapport ^, en vertu de la relation

que nous avons trouvée plus haut.

On voit par ce qui précède que la condition Av^o exprime qu'il existe une réduite de degré v. Si donc tous les déterminants A,, Ao, ... sont différents de zéro, ce qui aura lieu en général, les nombres v,, Vo, . . . , v,/, . . . formeront la série complète des nombres entiers, et, par suite, les degrés tj.|, ^2, ..., a//, ... des polynômes a<, a^, •-., cini ••• seront égaux à l'unité.