VIII. — Maxima et minima
39i. Soit/*(^) une fonction réelle de la variable réelle cT. On dit que/(^) est maximum pour x-r^a^ si l'on peut déterminer une quantité £ telle que l'on ait
[ïïïtivbesity;
376 PREMIÈRE PARTIi:. — CHAPITRE III.
pour toute valeur réelle de A moindre que e en valeur absolue.
Elle sera minimum, si l'on a toujours
dans ces mêmes conditions.
Si, au point a, f{x) admet une dérivée /(a) différente de zéro, nous avons vu que, pour h suffisamment petit,
y3, a le signe de hf\ci). Son signe changera donc avec celui de A, et il ne pourra y avoir ni maximum ni minimum.
Pour trouver les maxima et minima de j\x\ il faudra donc tout d'abord chercher les valeurs de la variable pour lesquelles f {x) s'annule ou cesse d'exister. Soit a l'une de ces valeurs. Pour s'assurer si elle donne effectivement un maximum ou un minimum, on calculera la valeur principale de la différence f{a + h) — f{ct) ; car c'est évidemment de son signe que dépend celui de cette différence pour les petites valeurs de Ji. Si ce terme principal est constamment négatif, on aura un maximum ; s'il est constamment positif, un minimum. Sinon, il n'y aura ni maximum ni minimum.
Si f{x) est développable aux environs du point a par la série de Taylor, la réponse à cette question sera immédiat-e.
En effet, dans ce cas,f^(a) s'annule nécessairement. D'autres dérivées pourront s'annuler également. Soit f'^i^ci) la première de celles qui ne s'annulent pas : on aura
La dérivée f"{x) étant supposée continue au point a, f'^{a -i- BA) aura pour limite /"(a) quand h tend vers zéro. Donc, pour toutes les valeurs de h suffisamment petites, elle aura le signe def'^(a). D'autre part. A" sera toujours positif si n est pair; au contraire, si n est impair, son signe change avec le signe de A. Donc :
Il y a maximum, si n est pair, et f'^{a) < o ; minimum,
si n est pair, et f"{a) > o. Il n'y a ni maximum ni minimum si n est impair.
395. Une fonction réelle f(x,r, . . .) de plusieurs variables réelles ^, JK7 • • • sera maximum au point a, b, ... si l'on peut déterminer une quantité e telle que l'on ait
pour toutes les valeurs réelles de A, /r, ... de module < e ; elle sera minimum, si, dans les mêmes conditions, on a constamment
Une première condition pour l'existence d'un maximum ou d'un minimum est qu'au point a, b, . . . chacune des dérivées partielles -r^> ^? • • • s'annule ou cesse d'exister.
En effet, si l'on pose en particulier A" = . . . = o, la différence
f{a-^li,b, ...)-/{a,b, ...)
devra conserver un signe constant, tant que | h | sera << s.
Donc -;:■— s'annule ou cesse d'exister au point a, b, De
même pour les autres dérivées partielles.
396. Supposons la fonction /(\r,jr, • • •) développable par la série de Taylor aux environs du point a, b, .... Ses dérivées premières devront s'y annuler. Admettons qu'il en soit de même pour toutes les dérivées suivantes jusqu'à celles de l'ordre n exclusivement. On aura
da db
Posons
p=:\/A"^H-A-^-i-..., h = p/l', A•=rpA•^
d'où
L'expression précédente })rendra la forme I\p- P ^«^1
n-hl
P/z et P^+i étant des polynômes homogènes en h\ k', . . . , de degré n et n -\- i respectivement.
Les coefficients de Pn+\ sont, à des facteurs binômiels près, les valeurs des dérivées d'ordre n -\- i au point a-j-QA, 6 + 8 A", ... , lesquelles ont pour limites les valeurs des mêmes dérivées au point «, b, . . . lorsque A, A", ... tendent vers zéro. D'autre part, |//|, | A"' |, ... ne peuvent surpasser l'unité. On pourra donc assigner un nombre fixe M tel que l'on ait
dès que h^ k, ... seront suffisamment petits.
Quant au premier terme, divers cas seront à distinguer : 1° Le polynôme Pn reste constamment positif, pour tous les systèmes de valeurs réelles de //, k', ... (sauf pour h' =: k'= . . . = o, auquel cas il s'annule). Dans ce cas, pour les systèmes de valeurs de ces variables qui satisfont à la condition
Pfi sera positif, et, comme c'est une fonction continue, sa valeur ne pourra s'abaisser au-dessous d'un minimum fixe m. On aura donc
/(a 4- A, ^ + A, . . .) -/{a, b,...)> Y^^^^ - Mp«-^
Cette quantité sera positive dès que 0 sera devenu
Il y aura donc minimum.
2^ Si Pn reste constamment négatif, le même raisonnement montre qu'il y a un maximum.
3° Si Vn peut prendre des valeurs positives et des valeurs négatives, il n'y aura ni maximum ni minimum.
Supposons, en effet, que P,, soit égal à -f- mi pour le système de valeurs h\, k\, ... et égal à — mo pour un autre système de valeurs A!,, A!,, .... Soient
Posons
d'où
on aura
et
-it^
ni 0 * /(a + k', b + k',...) -f(a, b,...)> 13^ - M?"-',
quantité positive pour p infiniment petit.
Au contraire, si l'on déterminait //, A', ... par les relations
on aurait
quantité négative pour p infiniment petit.
Ce cas se présentera nécessairement si n est impair, car
on changera le signe de Pn en changeant celui des variables.
4^ Enfin, si P,i ne peut pas changer de signe, mais peut s'annuler pour quelque système de valeurs autre que
A'=:A'— ...=:o, il y aura doute.
, i' , 397. La distinction des quatre cas ci-dessus est aisée à faire dans le cas le plus ordinaire, où n = 2. On n'aura qu'à mettre, par un procédé d'Algèbre connu, le polynôme du second degré Pa sous la forme
P,=za,Xi -\-a,Xl +. ..-f-«,-X? {i= m),
les X étant des fonctions linéaires distinctes des m variables
Supposons d'abord que les coefficients a ne soient pas tous de même signe et qu'on ait, par exemple, a^ >> o, «2<C o. Si l'on détermine h', A', ... de telle sorte qu'on ait
Xi g o, X2 = ... = X^ = o,
P2 sera positif. Si l'on pose, au contraire,
X,>o, Xi=X3 = ...= X,=ro,
il sera négatif. Il n'y a donc ni maximum ni minimum.
Supposons, au contraire, que les a soient tous de même signe, P2 aura toujours le signe des a, à moins qu'on n'ait
Xi=r. . .r=X,r=0,
auquel cas il s'annule.
Si /<< /?z, on peut satisfaire à ces conditions par une infinité de valeurs de h', A"', .... On sera donc dans le cas douteux.
Si iz=zm, ces conditions ne seront satisfaites que pour h':= k':=. . .= o. 11 y aura donc minimum si les a sont positifs, maximum s'ils sont négatifs.
398. Considérons, en particulier, le cas de deux variables. Posant, pour abréger,
âa'~' ' âaâb~ ' db''~ '
nous aurons
Si A^o, cette expression peut se mettre sous la forme
P,= — (AA'-h BA')24- ^^ T ^' k'K 2A^ 2A
Donc
Si AG — B-<; o ni maximum ni minimum,
AG — B2 — o doute,
AG — B2>o, A>o minimum,
AG — B^>o, A<o maximum.
Si A=o, on trouve les mêmes caractères. En effet, soit d'abord B^o, d'où AC — B-^o. Il n'y aura ni maximum ni minimum, car Po = i^h' k'-\- Ck'^ aura à volonté le signe de A"' ou le signe contraire, suivant qu'on prendra h' plus
G k' grand ou plus petit que — — ^ • Enfin, si B = o, d'où
AC — B- = o, P2 se réduit à CA"'- et s'annule pour k'=Oy quel que soit h'. H y a donc doute.
399. La discussion des cas douteux peut se faire d'une manière à peu près complète pour les fonctions de deux variables. En effet, dans ce cas,
est une série de puissances entières de h et de k.
Si cette série contient en facteur une puissance de h, telle
que h°^, mettons-la en évidence; nous aurons une expression
de la forme
Soit A A" le terme de decfré le moins élevé en k dans
S(A-, o). Pour h infiniment petit, l'équation S(/c,h) = o donnera, pour k, n racines infiniment petites, dont on pourra calculer les développements suivant les puissances croissantes (entières ou fractionnaires) de h par la méthode des n"^ 361 à 368. Soient R, K', ... ces développements ; V, v', ... leurs ordres de multiplicité respectifs. Nous pourrons écrire
h^^{k, h) ^ h^{k - Ky {k - K')^'. . . ^F(A^ h),
W étant une série de puissances entières, qui, pour h = o, k = o, ne s'annule plus et se réduit évidemment à A.
Pour les valeurs réelles et suffisamment petites de h et de A", W aura évidemment le signe de A.
Considérons les autres facteurs du produit. Si l'un des développements K est compliqué d'imaginaires, il sera évidemment accompagné du développement conjugué K<, qui sera du même ordre v de multiplicité. Le produit
(k -KY{k — K
sera toujours positif; et ces facteurs n'entreront pas en ligne de compte dans le signe du produit.
La même chose a lieu si K est réel, mais v pair; car le facteur (A* — K)^ ne peut être négatif; la seule nuance est qu'il est susceptible de s'annuler.
De même, si a est pair, A^' ne pourra être négatif.
Si donc il n'existe que des facteurs de l'espèce considérée jusqu'à présent, la différence /{a -t- /i, ^ H- k) — /{<^, ^)) aura toujours le signe de A^ tout au plus sera-t-elle susceptible de s'annuler. Il j aura maximum ou minimum, suivant que A est négatif ou positif.
Mais si, cette suppression faite, il reste encore des facteurs, il n'j aura ni maximum, ni minimum.
En effet, supposons par exemple qu'il nous reste les facteurs
/i^{k — Ky{k — K'y',
K et Iv' étant réels, et a, v, v' impairs.
SÉKIES. 383
Faisons tendre h vers zéro plus rapidement que A", de telle sorte que K et K' soient très petits par rapport à /c; k — K et k — K' conserveront leur signe si l'on change le signe de A, tandis que h°^ changera de signe. Donc la différence f{a + /i, b ■+- k) — /(«, b) ne garde pas un signe constant.
Supposons maintenant qu'il ne reste pas de facteur A°', mais seulement les facteurs
Posons A- = K -h î/r^, £ étant égal à =h r , et A^ étant d'un ordre plus élevé par rapport à h que la différence K — K'. On aura
{k — Ky {k — M'y' =. di^'' {}L—\v' -^ zh'^^y' .
Pour Ji infiniment petit, le signe du dernier facteur sera le même que celui de (R — K')^', quel que soit le signe de s ; donc le produit changera de signe avec s et il n'y aura ni maximum ni minimum.
400. Nous aurons d'après cela, pour décider de l'existence d'un maximum ou d'un minimum, à effectuer les opérations suivantes :
Nous déterminerons d'abord le facteur Ji'^ commun à tous les termes de f{a -h /h b -h k) — /(«, b). Si a est impair, il n'y a ni maximum ni minimum.
Si a est pair ou nul, nous chercherons le premier terme M Ah- de chacun des développements K, K', Nous obtiendrons, par la méthode du n° 361, un certain nombre de valeurs de |j., et, pour chacune d'elles, une équation
qui déterminera les M correspondants.
Nous chercherons les racines réelles de cette équation (les racines imaginaires peuvent être écartées, car les développements qui s'en déduisent n'influent pas sur le signe du produit).
Si l'une de ces racines est d'un ordre de multiplicité impair ^1, il n'y a ni maximum, ni minimum; car, parmi les développements en nombre n^ qui s'en déduisent, ceux qui sont imaginaires, étant conjugués deux à deux, sont en nombre pair; il reste donc un nombre impair de développements réels égaux ou inégaux; l'un au moins d'entre eux sera donc un ordre de multiplicité impair.
Si n^ est pair, il faudra calculer le second terme M< h^^ des n^ développements qui ont pour premier terme M/it^-. Dans les équations qui déterminent les valeurs de M,, on négligera encore les racines imaginaires et s'il existe une racine réelle d'ordre impair, on affirmera qu'il n'y a ni maximum ni minimum.
Si l'on arrive à n'avoir plus que des équations privées de racines réelles, il y aura maximum ou minimum.
On arrivera ainsi à trancher la question.
i^ S'il existe des développements réels d'ordre de multiplicité impair;
2° S'il n'existe pas de développement réel d'ordre de multiplicité pair, et dont le nombre des termes soit illimité.
Mais si aucune de ces deux conditions n'est satisfaite, on ne pourra jamais arriver à la certitude. En effet, on pourra, en poussant assez loin les calculs, éliminer les développements imaginaires, et ceux des développements réels d'ordre de multiplicité pair qui s'arrêteraient d'eux-mêmes après un nombre limité de termes; mais les autres resteront toujours, sans qu'on puisse assurer que la prolongation des opérations ne permettrait pas de les dédoubler.
401. Maxima et mininia relatifs. — Soit à trouver les maxima et minima d'une fonction /(^, jk, z^ u)^ les variables étant liées par deux relations
(1) cp(.27, J, ^, d^)"0,
Imaginons qu'on ait tiré de ces relations les valeurs de 3,
a en x, y, pour les substituer dans/; il viendra
et -T— soient nulles ou cessent d'exister.
et, pour qu'il y ait maximum ou minimum, il faudra que
d¥ dF
dx dy
j, . ., ÔF dF
Bornons-nous encore au cas ou i on aura -r— = o, -r— = o,
âx ' dy
ou plus simplement d¥ = o. On a
(3) dF^^-^dx-^^ dy ^%dz-^ ^{ du = o, ^ ' ôx dy '^ dz du
et cette équation devra être identiquement satisfaite pour toute valeur de dx et de dy après qu'on y aura remplacé dz et du par leurs valeurs tirées des équations
(4) -^ dx ^ -^ dy -^ -^ dz ^ —- du ^^ o, ^^' dx dy -^ dz du
(5) -^dx -\- —^ dy ^ -^dz -\- -^duzizo, ^ dx dy ^ dz du
qu'on obtient en différentiant les équations (p = o, ^ z= o. Il faudra donc éliminer dz^ du entre ces équations (3), (4), (5) et égaler à zéro les coefficients de dx et de dy dans l'équation résultante.
Pour effectuer cette élimination, multiplions les équations (4) et (5) par des facteurs indéterminés X, pi, puis ajoutons-les à l'équation (3); il viendra
df , (^cp ^^\ , fdf ,do d^\ ^
dx dx dx I \dy dy dy j '^
.df . df d^\ , /df , d^ d'\>\ ^
4-(-^-+-XV- -\- iJ^ ^ ] dz -}- { ~f- -+- 1 j^ ^ IX -^ \ du = o,
\dz dz ' dz J \du
et l'élimination sera effectuée si nous déterminons X et [x de telle sorte qu'on ait
df du
Egalant alors à zéro les coefficients de dx et de dy^ nous aurons
^ d.r ax ôœ ây ôy à y
Les équations (6) et (7), jointes aux équations (i) et (2), détermineront les six quantités x, y^ z, u^ A, u.
On remarquera que les équations (6) et(;7) s'obtiendraient immédiatement en égalant à zéro les dérivées partielles de la
fonction
/ + Xcp -H [vh.
402. Soit à déterminer la plus grande (ou la plus petite) valeur que prend la fonction f{x) lorsque x varie de Xq à x^ . Cette valeur peut correspondre à l'une des limites ou à un point intermédiaire a. Dans ce dernier cas, il est clair que /{a) sera un maximum (un minimum) de la fonction f{x).
Pour résoudre la question , il faudra donc calculer les maxima (ou minima) f{a)^ f{^)i ••• de la fonction dans l'intervalle de Xq k x^, ainsi que ses valeurs extrêmes /(^q), f{Xi), et prendre la plus grande (ou la plus petite) de ces quantités.
On agirait d'une manière analogue pour déterminer la plus grande ou la plus petite valeur d'une fonction de plusieurs quantités lorsque le champ de leurs variations est assujetti à certaines limitations.
403. Appliquons les méthodes précédentes à quelques problèmes.
Problème I. — Trouver la plus courte distance dUin point P à une droite D.
Soient a, a,, ao les coordonnées du point; a, a^, a^ celles d'un point fixe pris arbitrairement sur la droite; b^ ^j, b^ ses cosi/îus directeurs, c'est-à-dire les cosinus des angles qu'elle fait avec les axes. Les coordonnées x^ y, z d'un point situé
sur la droite à la distance t du point a, <2i, a-i seront évidemment
