X -m a ^ bty y =z ai-\- bit, z ^=z a.,-\- b.,t
et sa distance B au point P sera donnée par la formule
0-= (a -h ^^ — a)-+ («1+ bit — y-i)- -^ {a^^-^r b.,t ~ 7.^y — ^{a-\-bt — ^)\
11 s'agit de déterminer la distance variable t, de telle sorte que cette expression soit minimum.
Elle a pour dérivée ^ib{a-\- bt — a), quantité toujours continue. Il faudra donc égaler cette dérivée à zéro, ce qui donnera
^]){a — y.)-\-^b-t — 0, d'où
__ ^b{a — oL)
Substituons cette valeur dans l'expression il viendra
[(r^— g)/;i — (r^i— ai)/;]2-4-[f<7i— ai)/;.,— (^2— a2)/^i?+[(<'^2— a2)^— (^— a)/>2l
Cette expression représente bien un minimum, car la dérivée seconde
— 2 E />2 dt^ - ^
est positive,
404. Problème II. — Trouver la plus courte distance de deux droites.
Soient (8) x^=za^bt, yz=.ai^bit, z z:zi a^-^ b^t
les coordonnées d'un point de la première droite,
(9) ^ = a-+-pT, rj=:ai+PiT, t — a^:,-\-%x
celles d'un point de la seconde droite.
La distance 8 de ces points sera donnée par la formule
Il s'agit de déterminer les variables ^ et t de telle sorte que cette expression soit minimum.
Les dérivées partielles de cette expression par rapport à t et à T sont toujours continues. En les égalant à zéro, on aura les deux équations de condition
-\- p2(<^2— ^%-^b^t— Pa^)"©.
Eliminant successivement entre ces équations chacune des quantités entre parenthèses, et posant, pour abréger,
on en déduit
a ~ OL-^ bt — fix «, — aj -i- ^1 ^ — pi T «^2 — 01.^-^ b^t — ^2^'
Soit 1 la valeur commune de ces rapports; on aura, pour déterminer t, t et X, les trois équations linéaires
AX -h Px — Z?^ r= a — a, AjX + pix — byt^za^ — aj, A2Xh-P2'^ — bi,t=.a2 — y-i,
d'où l'on déduit
L, M, N, D désignant les déterminants suivants :
«1— «1 Pi —^1 — A(a — a)-HAi(ai — ai)-hA2(a.2— '^2),
Aj «!i — aj — èi
Al ?i «1— aj
Enfin, l'on a
=rA2 4-A'i+A|.
\/A2X2+A-JX^+A2a--^ =
ihL
v/A^+A^-hAI
Il est évident, d'après la nature du problème, que cette valeur de §2 est un minimum. Pour le vérifier, formons les dérivées secondes
^b^^bl-^bl
2 dt^ 2 dtdx
îS=^■^-??-^^
La quantité représentée dans la théorie générale par AC — B^ est égale à
Hb'-hbi H- bDip^ PI + n) - 4(^P 4- b, Pi+ b,M'
^4(A2-hA? + A|).
Sgo
CIIAPITHE m.
Elle est positive. Donc, il y a bien maximum on minimum. D'ailleurs
- ^^-~^b'--+-bl-^bl>o; -
ce sera donc un minimum.
40o. Remarque L — Les quantités 6, ^j, b.^, et [B, p,, ^i^, étant les cosinus directeurs des deux droites données, satisferont aux équations
b'^^b\+bl-=^i,
Mais nous n'avons pas fait usage de ces équations. Les formules trouvées subsisteraient donc en donnant à b,b^, b^, [j, ^4, p2 des valeurs quelconques. D'ailleurs, les équations ((S) et (9), pouvant se mettre sous la forme
ne cesseraient pas de représenter des lignes droites. Remarque 11. — Si nous posons
Aa, A6,
[3=:Z>-+-A6, bi-=:bi-^ \bi,
les formules précédentes deviendront A = ^1 A^2 — ^H^^ï, X^=^ b^^b — b \b^,
-(A Afz
+ Al A^i-h A2 Ar^a) —
A«i AZ^i ^1
Art2 A^2 ^2
b -\- !^b — Aa
Al Arti
Al
A2 Aa2
et l'on aura encore
L M N ^ dzL
Nous ferons un fréquent emploi de ces formules.
406. Problème TH. — Tromper la plus courte distance d'un point à un plan.
Soient a, b, c le ^ coordonnées du point et
(10) mœ -\- ny -^pz -h g ^^ o
l'équation du plan. Nous aurons à rendre minimum l'expression
S^ = (^ - a)2 4- (/ - by-\- {z — cf,
où x^ y, z sont liés par l'équation précédente. D'après la règle générale donnée pour la recherche des minima relatifs, nous aurons à égaler à zéro les dérivées partielles de l'expression
{x — af^ (j— hf-\- {z — cy^ \{nix -H ny ^pz -hq), ce qui donnera les équations
2{x — a) -1- Xm = o, 2{y — b)~}-\n =0, 2{z —c) -i-lp =0,
auxquelles on joindra la suivante
o==imx-hny-hpz^q
— m{x — a) -h n{y — b) -h p{z — c) + 7?ia -+- nb -h pc -H g.
On en déduit
X — a^ — {Xm, y — b^=z — \ln, z — c =:— ~lp,
^ ma -h nb -h pc -h g
\2 / \ Il m^-\- n^-\- p-
Pour vérifier que cette expression représente bien un minimum, cherchons les dérivées secondes de ô^ considéré comme fonction des variables indépendantes x^ jk, et d'ime fonction z de ces variables, définie par l'équation (10). On aura successivement
dx
,dz '^dx
dx^
im dz p dx
im} P-
__ 2 m dz ~ P ày"
imn
dx ôy
On
trouvera de même
dy' '
Les expressions désignées dans la théorie générale par AG — B- et A seront ici
et -
P' Toutes deux étant positives, on aura un minimum.
