Posons, pour abréger, On a, par définition
d'où
^f{x) zzz f ' {œ) ^x -^ là \x ,
R tendant vers zéro avec ^x.
A^insi ^f{x) se compose de deux termes; l'an, f'[x)^.x.
YAUIABLES RÉELLES. 63
simplement proportionnel à A^, et qui constitue sa valeur principale ; l'autre, R A^, infiniment petit d'ordre plus élevé.
Le premier terme /'(^) A^ se nomme la différentielle de f{x)^ et se désigne par df{x).
Dans le cas particulier où f{x) se réduit à x^ sa dérivée étant égale à l'unité, l'équation de définition
(,) df{œ):=^f'{x)^x
se réduit à
dx = t^x.
Substituant cette valeur de A^ dans l'équation générale (i), on en conclura
Cette nouvelle expression de la dérivée par un quotient de différentielles est très fréquemment employée pour la représenter.
75. Dérivée dUine somme. — Soit y = w -j- r — w une somme algébrique de fonctions ayant les dérivées connues u' ^ v'^ w'. On aura évidemment, en désignant par Ajk, A;/, Aç', A(v les accroissements de ces fonctions correspondant à l'accroissement h = ^x donné à la variable indépendante,
Ar A;^ A(^ A.W ^ ^x ^x Ax A.x'
d'oij, en faisant tendre A^ vers zéro et passant à la limite,
, ,. Ar ,. ^u 1- A(^ ,. A(T^
r'= lim ~- = hm- h lim lim — = u' + ç' — tv .
^ ^x à.x Aj? A^
Dérivée d'un produit. — Soit y = uv>^ u et v ayant des dérivées connues u' et v' . On aura
Ay (u-[-^u)(v-\-bLv) — uv à.u , . , Ac
Z. — ^ Ll L :=: ( (, ^ A(' ) -+- w ?
^a; Ax' ^x à.x
y' = lim — lim ( c -h Ar) + u lim — = u' ç -+- uv .
^ ^x ' Ax
Cette équation peut s'écrire
Si l'on divah y = ui^iv.. ., on aurait évidemment, d'après
cela,
y II V w Dérivée d'un quotient. — Soit j- = -; on aura
Il H- ùi.u II ^u A^» V u
(' -H A(^ V A.r Lx
, vu'-uv'
el, à la limite,
Dérivée d'une fonction de fonction. — Soit j == F(?/), uz=f[x) étant lui-même une fonction de ^; on aura évidemment
Ay Ay Am
A^ Âw A^ et à la limite, Aw tendant vers zéro avec A^,
/=:lim^lim^-::=F'(/0^''-F'[/(.r)]/(^).
Dérivée d'une fonction inverse. — Soit j' =/(jc) une fonction admettant une fonction inverse, de telle sorte qu'on ait X = ^(y)- Si l'une de ces fonctions a une dérivée connue, on aura immédiatement la dérivée de l'autre.
On a, en effet, en supposant connue la dérivée de cp, par exemple,
Ay I . A.r
-^ = ; mais lim -— = o (y).
A^ A^ ' Aj ' '-^ '
Ay
Donc, à la limile,
76. Si, en un point donné x^ la dérivée f'{x) n est pas nulle, on pourra assigner une quantité o, telle que
l'expression
ait le signe de f'(x)àx pour toutes les valeurs de \x de module << o.
On a, en effet,
d'où
R tendant vers zéro avec b^x. On peut donc assigner une quantité o, telle que, si | A^ | < 8, | R | soit < \f\x) |. Alors, /'(^)-f-R ayant le même signe que f\x)^ A/(x) aura le même signe que f'{x)^.x.
77. Théoiœme de Rolle. — Si f{x) admet une dérivée dans l'intervalle de Xq à X et s'annule pour Xq et X, sa dérivée s^ annulera en un point intermédiaire.
Les valeurs de x qui sont yX^ et ^X formant un ensemble borné et parfait, la fonction f{x) admet, dans cet intervalle de Xq à X, un maximum et un minimum et les atteint effectivement (64). Si ce maximum et ce minimum sont nuls tous deux, f{x) sera constamment nulle, sa dérivée aussi, et le théorème sera démontré.
Supposons, au contraiie, que le maximum, par exemple, soit différent de zéro. Soit \ la valeur correspondante de x^ laquelle sera différente de Xq et de X. On aura f'Çi) = o; car, s'il en était autrement, l'expression
