Problème IV. — Trouver les maxiraa et minima

de la fraction - -,

/ = an^2| «22j2^ a^-^z'*--^- la^^xy + la^^yz 4- la^^zx

et

cp ■=. au^--h a227^-h «33^^+ 2ai2^/ H- 2a23j;s -h l^^^zx étant deux fonctions homogènes du second degré en x^

La valeur de cette fraction ne dépendant que des rapports

SÉRIES. SgS

des variables ^, y, z^ il est permis de supposer leurs valeurs absolues choisies de telle sorte qu'on ait cp = i .

On aura donc à trouver les maxima et minima de/, étant donnée l'équation de condition

On devra, comme on sait, déterminer x^ y^ z, \ par les équations

' dû^ ax ây dy ôz dz

ou, en effectuant les calculs,

/ («11 H- Xaii)^ + («12+ >^«12)/ + («13-i- >^«13)- — O,

(12) j («,2-+->^ai2)^-f-(«22H->^a22)/ + («23H-^^^23)^ =0,

l («13+ >^ai3)-^ -H (<^23H->^S'23)7-t- (<^33+ ^^^33)^ = 0-

Or l'équation cp = i montre que x^y^ z ne peuvent être nuls à la fois. Donc le déterminant des équations (12) doit être nul, ce qui donnera une équation du troisième degré en X.

Soit \ une des racines de cette équation; en la substituant dans les équations (12), elles se réduiront à deux équations distinctes, qui fourniront les rapports de x^ y, z. L'équation cp = I achèvera de déterminer ces quantités.

La valeur correspondante de - sera — 1. En effet, f et cp

étant des fonctions homogènes du second degré, l'on aura

âf âf ôf

ox ^ dy âz -^

d^ 0(0 do

ax "^ ây dz ^

Les équations (i i), respectivement multipliées par x^y, z et ajoutées ensemble, donneront donc

2/h-2cûX=:o, d'où ^= — X.

Avant d'aller plus loin, nous remarquerons que la fonction cp peut se mettre sous la forme

cp, étant une fonction de y et de z^ telle que

'll/^-i-2?i2y^ + p22^^

On pourra de même mettre cp, sous la forme

La fonction cp sera ainsi décomposée en une somme de trois carrés, respectivement multipliés par an, pn? y-

Nous supposerons, dans ce qui va suivre, que ces trois coefficients sont positifs. Il est clair que cette condition est nécessaire et suffisante pour que o prenne une valeur positive et différente de zéro pour tout système de valeurs de x^y^ z autre que o, o, o. Cette condition étant remplie, les valeurs de x^ y, z pour lesquelles on a cp = t auront nécessairement un module borné ; car il faudra que chacun des trois termes positifs dont cp se compose, pris isolément, soit ^ I . Les valeurs de / correspondant à ces divers systèmes de valeurs de x, y, z seront donc bornées, et, par suite, f présentera nécessairement au moins un maximum et un minimum réels, correspondant à des valeurs réelles des variables. Soient Xi, y^^ z^ les valeurs qui correspondent au maximum, par exemple; \y la valeur correspondante àeX.

Posons

r — Yxl -h in^r, -h /ii^,

^, 71, Ç étant de nouvelles variables, et m, n, m^, rii, mo, /î2 des quantités quelconques telles que le déterminant de la substitution ne soit pas nul. Aux valeurs x = Xi, y==yi,

z z= Zi, qui donnent le maximum, correspondront les valeurs ^:=i, Tj = o, Ç = o. D'ailleurs, après la transformation, /'et o deviendront des fonctions des nouvelles coordonnées, homogènes et du second degré, comme auparavant.

La transformation une fois exécutée, appelons ^,y, z nos nouvelles variables primitivement désignées par ^, r,, u. Appelons également an , . . ., an , ... les coefficients des fonctions/

f et cp rapportés à ces nouvelles variables; - sera maximum

et cp égal à l'unité pour x = i, jk = o, ^ = o, ). = ).< • On aura, par suite, a^ = i, et les équations (12) étant satisfaites pour le maximum, on aura, d'autre part,

(i3) ai, + )^i = o, «^12-+- ^^1^12=0, ai3+Xiai3=o.

Posant maintenant, pour abréger,

X = .r 4- a,2 r -h ^is--,

'^1 et /i étant des fonctions de jr, s, dont la première sera positive pour tout système de valeurs de y, z autre que y=o, z = o.

Opérant maintenant sur les fonctions cp< , / de la même manière que nous l'avons fait sur cp et /', nous pourrons les mettre sous la forme

02 et /2 i^e contenant plus que ^, et par suite étant respectivement de la forme [^g-, rz-.

Posant

on aura

= zs f,.

SgÔ PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE III. — SÉRIES.

et, par suite,

( cp=:X^^-Y2^-Z^, (i4) \ '

d'où ce théorème :

Étant donné un système de deux fonctions quadratiques f et ^ dont Vune est toujours positive, on pourra, par un changement de variables réel, en faire disparaître les rectangles des variables.

Les deux fonctions étant ainsi préparées, l'équation en \ deviendra

G rr:

Cette équation a pour racines les trois quantités réelles X,,

I2, ^^3- Donc, V équation en\ a toujours ses racines réelles.

On voit immédiatement sur les équations (i4) que la plus

grande de ces racines rendra - minimum; la plus petite le

rendra maximum, la troisième ne donnera ni maximum ni minimum.

APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DE LA SÉRIE DE TAYLOR. 3gj