CHAPITRE IV

L — Points ordinaires et points singuliers.

408. Soient F(X, Y) = o l'équation d'une courbe plane; (x^y) l'un de ses points, aux environs duquel nous supposons F développabie par la série de Taylor

Coupons la courbe par une droite

et supposons que cette sécante se rapproche indéfiniment du point {^1 y) en conservant une direction constante et d'ailleurs arbitraire.

Si UL de ses points d'intersection avec la courbe se rapprochent indéfiniment de (^,JK), on dira que ce point est de l'ordre jjl de multiplicité. Si a = i , ce sera un point simple ou ordinaire; si [x >> i, ce sera un point multiple ou sln- <> aller.

Comme à chaque valeur de t correspond un seul point x^ y de la sécante, l'ordre de multiplicité cherché sera évidemment égal au nombre des racines infiniment petites de l'équation

ogo PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE IV.

OU, ce qui revient au même, à celui des racines nulles de l'équation limite

dx dy J 2 \ dx^

Le nombre ^ sera donc égal à l'unité, toutes les fois que

-.r— j ^-- ne sont pas nuls simultanément; il sera es^al a /i, si dx dv ^ j n 7

d¥ dY d'^V les dérivées -^r- » t-^ t-v? • * * d'ordre << n s'annulent toutes, ôx oy ox^

l'une au moins des dérivées d'ordre n étant ^o.

Le nombre des racines nulles, étant supposé égal kn pour

une direction arbitraire de la sécante, se trouvera accru si a,

[^ sont déterminés de manière à annuler le coefficient

d"¥ ^„ fW

a" h Aia«-i 3 ^ h . . .

àx'^ ax"'~^()y

du terme en t'^^ c'est-à-dire si la sécante est parallèle à l'une des droites du faisceau

Ces droites se nomment les tangentes au point (x, y). En un point simple, on aura une seule tangente

409. A une valeur infiniment petite de X — x correspondent une ou plusieurs valeurs infiniment petites de Y — j\ Proposons-nous de les développer en série.

Supposons d'abord que (^, y) soit un point simple. Si l'axe

àF des Y n'est pas parallèle à la tangente, -r-- n'étant pas nul, on

n'aura qu'une valeur infiniment petite de Y — y, développable comme on l'a vu, suivant les puissances entières et positives de X — X.

âF Si l'axe des Y est parallèle à la tangente, -y- est nul, mais

ÔF ^

-.5— ne l'est pas, et l'on aura ox ^

en mettant en évidence, parmi les termes qui ne contiennent pas X — x^ celui dont le degré en Y — y est le moindre. Cette équation admet r racines infiniment petites données par l'expression

/ I dF\'' - -

^-y=KkT^ (x-.,r+.(x-xr+...,-

où l'on prendra successivement les diverses déterminations

du radical (X — xy\ On obtient ainsi un cycle de /' branches. Supposons au contraire (^,Jk) multiple d'ordre /i, et admettons, pour plus de simplicité, que l'axe des Y ne soit parallèle à aucune des tangentes en ce point. On aura

o = F(X,Y)r=Ao(X-^)«+Ai(X-^)«-'(Y-j)4-...

+ A„(Y-/)«-l-Bo(X-^)«+i + ...

le coefficient A„ n'étant pas nul. L'équation admet donc n racines infiniment petites, données par des séries

Y-y=rM,(X-^)-f-..., ..., Y-j=rM„(X-xO+.--,

où M,, . . . , M,i sont les racines de l'équation

AoH-AiM + ...-hA„M«=o,

qui donne les coefficients angulaires des tangentes.

Si les racines de cette équation sont toutes inégales, les /i développements seront séparés dès le début, et ne contiendront que des puissances entières. Si, au contraire, plusieurs tangentes coïncident, la singularité sera plus complexe, et les développements contiendront le plus souvent des puissances fractionnaires de X — x. Mais on sait que dans tous les cas ils peuvent être associés en cycles en réunissant ceux qui

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