Supposons maintenant la courbe définie par deux

équations

X=/(0, Y = cp(0.

Soit Iq la valeur de t pour laquelle on a X = ^, Y z=^ y et admettons qu'aux environs de cette valeur, les fonctions/et 'j soient développables par la série de Tajlor. On aura aux environs de ce point, en posant, pour abréger, /'(^<)) = x' ^

402 PREMIÈRE PARTIE. — CIIAIMI RE lY.

Coupons la courbe par une droite

infiniment voisine du point x^ y.

Les t des points d'intersection seront donnés par l'équation

Cette équation en t — ^o n'a, en général, qu'une racine infiniment petite si ^' et y ne sont pas nuls à la fois. Le point (^,JK) sera donc simple. Mais on aura une seconde racine infiniment petite si l'on a

auquel cas la sécante sera parallèle à la droite

Telle est donc l'équation de la tangente.

Supposons, au contraire, que ^', r' s'annulent à la fois, ainsi que x^'^y"^ . . ., x'^~^ ^y^~^ , mais que ^" etjr" ne soient pas nuls tous deux. L'équation en t — ^o aura n racines infiniment petites ; le point (^, y) sera donc multiple d'ordre n (pourvu qu'à ces n valeurs de t — ^o correspondent autant de systèmes de valeurs différentes pour X — x ^ Y — y). Le nombre des racines infiniment petites deviendra d'ailleurs ^ n, si l'on a

On a donc, ici encore, une tangente ayant pour équation

Ces résultats supposent, comme on vient de le voir, que deux valeurs différentes de ^, assez voisines de ^05 correspondent toujours à des points {x,y) différents, ce que nous exprimerons d'une manière abrégée en disant que t corres-

APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DE LA SÉRIE DE TAYLOR. l\0'è

pond uniformément aux points du cycle. On peut toujours reconnaître si cette condition est satisfaite, et si elle ne l'est pas, faire en sorte qu'elle le devienne, par un changement de paramètre.

Soit, en effet, en ne conservant dans l'écriture que les termes dont le coefficient n'est pas nul,

-^ ^ ni ^ /^l!

Supposons, pour fixer les idées, //z^/i 5 et posons

a étant un nouveau paramètre. On sait qu'il existe m développements suivant les puissances entières de w, qui, mis à la place de ^ — ^0? satisfont identiquement à cette équation. Soit

l'un d'eux. Substituant cette valeur dans les expressions de X, Y, elles prendront la forme plus simple

X — X — H'", Y — r = cil" 4- c' II"' 4-

Soit ô le plus grand commun diviseur des exposants 77i = 8/-,. fi z= ^s, n' =^ 8/, .... Posant u^ = c, il viendra

X — ^ = v'', Y — j = cç-^ -f- c' r"' -h. . . .

Ces deux équations représentent un cycle de r branches, et comme r, s, s', ... n'ont pas de facteur commun, deux valeurs infiniment petites de ç, distinctes entre elles, ne pourront répondre à un même point. En efTet, (^ désignant l'une d'elles, l'autre devrait être égale à Q(^, 6 étant une raison /•"^•"^ de l'unité, pour que X eût la même valeur.

4o4 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE IV.

Pour que 11 eût également la même valeur, on devrait avoir

cv^ 4- c' ('■'■' + . . . — ce-^ ('^ 4- c' 6'*' v'' -h . . . ou -

C(l— e^)r*"-hc'(l — 0-^"')('^"H-. . .=:0.

Or, les exposants r, 5, 5', . . . , n'ajant pas de facteur commun, quelle que soit la racine choisie pour 8, la série S du premier membre ne sera pas identiquement nulle et l'on pourra assigner un nombre fixe L tel que, si o << | (■ | <^L, S soit différent de zéro.

Si 8 est égal à l'unité, u correspondra uniformément aux points du c}cle ; et il en sera de même pour ^, car la relation (i) fait correspondre à chaque valeur de u une seule valeur de ^, et réciproquement.

411. Dans ce qui précède, nous avons appelé ^0 la valeur de t pour laquelle on a X = ^, Y =^y. Il peut évidemment exister plusieurs valeurs t^^ ^< , ... de ce paramètre qui satisfassent à cette condition. Chacune d'elles donnera naissance à un cycle, suivant l'analyse précédente, et l'ordre total de multiplicité du point (.r, y) sera la somme des ordres de multiplicité partiels ainsi calculés.

412. Soient F(X, Y, Z)=:o l'équation d'une surface; (^, jKî ^) un de ses points, aux environs duquel F soit développable par la série de Taylcr

2 Ida-'-

{X-xf

Coupons par une droite

X — x — y.t^h, Y — j=P^-I-/m Z — z — ^^t + l de direction fixe, et infiniment voisine du point (^,JK, ^

APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DE LA SÉRIE DE TAYLOU. f\0^

Les points d'intersection seront donnés par l'équation

r^F ÔF^ dF ]^ I L o.r a y az \ 2

H étant infiniment petit.

Si -v-> -^y -T- ne sont pas nuls a la lois, on n aura, en ge- OJ^ dy âz '^

néral, qu'une racine infiniment petite. Le point (a:,y,z)

sera simple.

On aura toutefois deux racines infiniment petites, si

dF dF ^ ÔF

âû^ ÔY oz

c'est-à-dire si la sécante est parallèle au plan tangent

Si l'axe des Z, par exemple, n'est pas parallèle au plan

dF ^ rr . ' .

tangent, on aura ;^ <Oj et Zi — z sera, aux environs du poml

(^,jK, ^), une fonction synectique de X — x^ Y — y .

dF dF dF Supposons maintenant que -y-? -r— j -^ s'annulent, et qu'il

en soit de même des dérivées jusqu'à l'ordre n exclusivement. L'équation en t se réduira à