n L dx
et admettra, en général, n racines infiniment petites. Le point (œ^y^z) sera multiple d^ ordre n. Le nombre des racines infiniment petites sera augmenté si
autrement dit si la sécante est parallèle au cône tangent
dn
-ni — xy
4o6 PREMIÈIÎE PARTIE. — CHAPITRE IV.
413. Si, par le point (^, y, s), nous faisons passer un plan arbitraire
il est évident que l'intersection G du plan avec la surface aura en [x^y^z) un point multiple, dont les tangentes seront les génératrices suivant lesquelles le plan coupe le cône tangent.
Si toutefois P entre en facteur dans l'équation du cône tangent, l'ordre de multiplicité du point [x,y^z) sur la courbe G se trouvera accru.
En particulier, le plan tangent en un point ordinaire coupe la surface suivant une courbe sur laquelle ce point sera multiple.
Si l'on coupe le cône tangent par un plan arbitraire ne passant plus par son sommet, on obtiendra une section plane algébrique et de degré n. Gette courbe peut présenter des points singuliers, ou se décomposer en courbes de degré moindre. Toutes ces circonstances devront être notées comme entrant dans la définition de la singularité.
Une surface peut présenter, non seulement des points singuliers isolés, mais des lignes singulières dont tous les points sont singuliers. Gonsidérons, par exemple, un cône dont la base ait un point double. La génératrice correspondante sera une ligne double, en chaque point de laquelle on a un cône tangent, dégénérant en un système de deux plans.
414. Une surface est souvent représentée par un système de trois équations
t^ u étant deux paramètres dont l'élimination donnerait léquation de la surface sous la forme ordinaire
Soit ^0 5 1^0 ^^^ système de valeurs des paramètres pour lequel on ait X = x, Y =y, Z = ^. La formule de Tajlor étant supposée applicable, on aura, en posant, pour abréger,
-r — Cl j , -r U 1
dt, du.
(2) I \—y~a,^{t—t,)-hb.^{u~u,)-^...,
\ Z ~ z — a^{t — to) -\- b^{u — Uq) -h. . ..
Si l'un des déterminants {a^b'j. — a.yb^)^ {ci^^i — ^2 «^3)? {a^b^ — «1 ^3) est différent de zéro, (^, j^, ^)sera un point simple (pourvu toutefois que ^q, Uq soit le seul système de valeurs des paramètres qui donne ce point). En effet, si a^b^ — ci^h^, par exemple, n'est pas nul, les deux premières équations (2) permettront de déterminer t — t^^ u — 11^ en fonction synectique de X — x^ Y — y. Ces valeurs, substituées dans la dernière équation, donneront une expression analogue pour Z — ::.
Réciproquement, si x, y^'z est un point simple, on pourra mettre l'équation de la surface aux environs de ce point sous la forme
Z-~z^a{X.~œ)-{-b{Y —y)-\-c{X — xY-^...,
équivalente au système des trois équations
X — œz=zt, \ — y =i Uy Z — zz=zat -\- bu -i- ct'-^ . . .,
où le déterminant a^ b^— a2bi a pour valeur l'unité.
Lorsque nous voudrons étudier une surface aux environs d'un point simple, nous pourrons donc toujours admettre que l'un au moins des déterminants «< ^o — ao ^1 , . . . est ^ 0.
415. Une courbe gauche, définie comme trajectoire d'un pomt mobile, sera représentée par un système de trois équations
Xr=/(0, Y=o{t), Z = ^(0.
4o8 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE IV.
Un point (^, JV', z) de la courbe sera de l'ordre ijl de multiplicité, si un plan de direction fixe
infiniment voisin de (x, y. z)^ coupe la courbe en |Ji points infiniment voisins de ce point.
Soit Iq la valeur de t correspondant à (^, y, z). Les fonctions y, cp, ']> étant supposées développables par la série de Tajlor, on aura, en posant, pour abréger, /'(^Iq) = x',
Substituant ces valeurs dans l'équation du plan, nous aurons, pour déterminer les t des points d'intersection, l'équation
Si x' ^ y, z' ne sont pas nuls à la fois, cette équation en i — Iq n'aura, en général, qu'une racine infiniment petite : le point est simple.
Mais on aura plusieurs racines infiniment petites dans le
cas oii l'on aurait
ax'-\- '^y-^-(z'=:o,
c'est-à-dire si le plan sécant est parallèle à la tangente X — x Y — y __ Z — z
Si x',y, z', . . ., x^~^ ^ y'^~* , z'^~^ s'annulent à la fois, sans qu'il en soit de même pour ^", y", z'^^ on aura n valeurs infiniment petites de ty et ce nombre sera accru si le plan sécant est parallèle à la tangente
rjQll y/i ^11
Donc (x^y^z) sera multiple d'ordre n, si à chaque valeur de t voisine de ^o correspond un point différent de la courbe.
416. On peut toujours satisfaire à cette condition en changeant au besoin de paramètre. Soit, en effet, en ne conservant que les termes dont le coefficient n'est pas nul,
i .1. . . p et supposons, pour fixer les idées, m^n'^p. Posons
j .2. . .m 1 .2. . .mi
Prenons, pour t — ^o, l'^^n des développements qui satisfont à cette équation, et substituons-le dans les équations précédentes; elles prendront la forme
Soit ù le plus grand commun diviseur des exposants m = ùry n = ^y, ...,/> = ott, Posant u^=^ p, il viendra
(3) X — x=ç'-, Y— jr^z^^^^^-h..., Z — ^ = e,,(^^-H....
Ces trois équations représentent un cycle de /' branches, et il est clair qu'à deux valeurs infiniment petites de ç, différentes l'une de l'autre, répondent deux points distincts.
On doit remarquer ici, comme pour les courbes planes, que s'il existe plusieurs valeurs ^o^ ^n • • • du paramètre qui correspondent au point (^, y, z), chacune d'elles donne naissance à un cycle analogue à celui que nous avons déterminé et l'ordre total de multiplicité de ce point sera la somme des ordres de multiplicité partiels ainsi calculés.
Si le point (^, JK, 5) est simple, il ne correspondra donc qu'à une seule valeur de t. Il faut, en outre, que dans les
4lO PREMI^:RE PARTIE. — CIIAPITRI^ IV.
expressions (3) des coordonnées en fonction de ^ figure un terme du premier degré en v. Comme on a r^v^-, on aura /- = i , ^ = (; et, par suite,
La courbe aux environs du point (œ^y^z) est donc l'intersection de ces deux cylindres, dont les plans tangents sont différents.
417. Réciproquement, la courbe d'intersection de deux surfaces quelconques a un point simple, partout où les plans tangents aux deux surfaces sont différents.
Soient, en effet, (^, J", ^) un point de l'intersection, et
les équations des deux surfaces. Les plans tangents étant supposés distincts, l'un au moins des trois déterminants
Ov ôz ôy dz
par exemple le premier, sera ^o. Donc, aux environs du point (^, j', ^), Y — j^etZ — z seront sjnectiques en X — x^ et admettront des développements de la forme
Y — r = ^1 (X ^) 4- ^^(X — ^)- -I- . . . , Z — z = Cl (X — x) 4- C2 ( X. — x)- -\- . . . .
En joignant à ces équations l'identité
on a les trois coordonnées exprimées en fonction du même paramètre X — x. Le point est simple et a pour tangente
i ~~ bi ~ c,
Pour déterminer les coefficients b^ et c,, substituons les valeurs de Y — y et Z — z dans les équations (4). L'identification des deux membres donnera
^F ^F , ^F Ox ÔY oz
-f- -^ ^l-f- -^Ci= G,
dx dy oz
On voit par là que la tangente cherchée est l'intersection des deux plans tangents
et a pour équations
dy ôz dy âz âz dx dz â.v dx dy ùx ày
Lorsque nous voudrons étudier une courbe gauche aux environs d'un point simple, en la considérant comme intersection de deux surfaces, il sera permis, d'après ce qui précède, d'admettre que les deux surfaces qui la déterminent n'ont pas le même plan tangent.
Nous nous bornerons exclusivement, dans ce Chapitre, à la considération des points simples des courbes et des surfaces.
IL — Théorie du contact.
418. Nous appellerons ecar^ de deux points P = (^7 J^, ^)j Q = (^1, jKi, ^t ), et nous représenterons par [PQ] la somme
L'écart ainsi défini n'est nul que si P et Q coïncident. La distance sj^x^ — x^ -^ {yt — J")^+ {^^ — 5)"^ ne jouirait pas de cette propriété pour des points imaginaires. Mais, si l'on
se bornait aux points réels, on pourrait, sans rien changer aux théories qui suivent, la substituer à l'écart dans les définitions.
419. Soient F, F, deux figures (lignes ou surfaces) ayant un point commun P. Nous dirons que F a en ce point un contact d'ordre n avec F< , si à chaque point Q, pris sur cette dernière figure dans le voisinage de P on peut associer un point Q de F, de telle sorte que lorsque Q, tend vers P, [QQi] soit infiniment petit d'ordre n -\- i par rapport à
