CHAPITRE
aurait, pour des valeurs suffisamment petites de A^, le signe de /'(i) A^. En donnant à Ax un signe convenable, on pourrait la rendre positive. Donc ^ ne correspondrait pas à la valeur maximum de/, comme on l'a supposé.
78. Corollaire. — Soient /(^), 9(-^), 'K^) ^^'^^^ fonctions admettant des dérivées dans Tintervalle de a à 6; considérons le déterminant
f{x-^h) o{x-hh) ^{x-h/i) f{x-\-^h) o(.^-hO/0 <|;(.T + OA)
C'est une fonction de la variable 8, qui s'annule pour Q =: o et 8 = T , et qui, d'après les règles de dérivation données ci-dessus (75), admet pour dérivée, dans cet intervalle, le produit de h par le déterminant
f{x-V-h) o{x^h) <^{x-\-h) y'(^ + e/0 cp'(^-i-0/i) ^'{x-\-^h) I
Ce nouveau déterminant devra donc s'annuler pour une valeur de 8 comprise entre o et i .
Posons, en particulier, '^j{x) = i; d'où '^' {x) = o. L'équation A == o deviendra
[cp(^) — ^{x-\- h)']f'{x + 6/0
+ [/(^ + /0-/(^)]?'(^-hO/^) = o;
{x-\- h) — ^{x) cp'(^ + 6A)
Si nous posons, en outre, o[x) = x; d'où o' (x) = i, cette dernière équation deviendra
ou (3)
/(x + h) -f{x) = hf'(œ + O/i).
Dans cette formule, ^ + 9A est une quantité inconnue, mais comprise entre x el x -{- Ji.
79. Si la dérivée /^(^) est constamment nulle dans cet intervalle, on aura
d'où
f{œ-^h)-f{x):=zo.
Si cette dérivée, sans être constamment nulle, n'est jamais négative, /(^ + /i) — f{^') aura le signe de h. Soient, en effet, \ un des points de l'intervalle de ^ à x -\- h pour lesquels la dérivée est positive; ç H- o un point infiniment voisin de \ et compris entre Ç et .r H- h. On aura
= /(^ + h) -f{l .4- 0) -|-/(^ -^ l) -fiX) H-/(0 -f{x)
Tt étant un nom.brc compris entre x -\- h et ^ -f- S, t, , un nombre compris entre \ et x.
Si l'on prend 8 assez petit, /(^ + 8) — /(S) aura le signe de §/'(?). D'ailleurs, /'(Ç) est positif, /'('n), /'('^h) positifs ou nuls. Enfin, 8, x -^ h — ç — 3, ^ — x ont le signe de h. Donc, sur les trois termes qui composenty(.r -h li) — f{x), l'un a sûrement le signe de A, les deux autres ont aussi le signe de A, s'ils ne sont pas nuls. La somme a donc le signe de h.
On voit de inéme que, si la dérivée ./'(x), sans être constamment nulle, n'est jamais riegative, /(^ -\- h) — /{^) sera de signe contraire à h.
Nous pouvons donc énoncer la proposition suivante :
TuÉoTiiîME. — La fonction f{x) reste constante clans tout intervalle oit f'{x) est constamment nul; elle croît avec X dans tout intervalle oii f'{x) reste positif ; elle décroit au contraire, rjuand x croit, dans tout intervalle où f'{x) reste négatif.
Les deux dernières parties de ce théorème subsistent encore si f{x) peut s'annuler dans l'intervalle considéré, mais sans changer de signe, pourvu qu'il soit impossible d'isoler dans l'intervalle considéré un intervalle partiel dans lequel f'{x) soit constamment nul.
80. Théorème. — Si f\x) reste continu dans un ensemble E borné et parfait, /(^ + ^^^^^^^^r tendra uniformément vers sa limite f'{x).
En effet, cette expression est égale à f\x-\-^h). Mais f'{x), étant continue, l'est uniformément dans E (63).
Donc, on peut assigner une quantité r, indépendante de x, et telle qu'on ait
\f'{x^^li)-f{x)\<z
dès que le module de 8/i et, a fortiori, dès que celui de h
est <C Yj.
81. Théorème. — Si la fonction f{x) est intégrable de a à b, V intégrale définie
' f{x)dx=:Y{\),
oit Xq et X sont compris entre a et b, est une fonction de X à variation bornée et continue. Si de plus f{x) est continue au point X, F(X) aura en ce point une dérivée égale
àfiX).
Soit, en effet, pile maximum de \f{x)\ dans l'intervalle <7/;. Décomposons l'intervalle de ^o à X en intervalles partiels XoX^, ..., x,,,Xh, ..., Xn-^y^• Ea variation totale de la fonction intégrale
f{x) dx.
relative à cette décomposition, sera
On voit donc qu'elle ne peut surpasser une limite fixe. Donc, F(X) a une variation bornée.
En second lieu, changeons X en X 4- AX; on aura
^x + Ax -.X ^ X -f- Ax
AF(X)= / f{x)dx~ / f{x)dx'^ / Aœ)dx,
quantité qui tend vers zéro avec A^, car son module est au plus égal à [Ji I i^œ |.
Supposons enfin que/(jc) soit continue au point X. On aura par définition
/ f{oc)dx — y\m\f{'c,k){œk—œ,,.^),
Xi, ..., x„i étant des valeurs intermédiaires infiniment voisines les unes des autres, intercalées entre X = ^o et X H- AX = Xn, et ^/f une quantité intermédiaire entre ^^-i et Xk.
On peut, par hypothèse, quel que soit £, déterminer une quantité o, telle que l'on ait, tant que | A | < 8,
et, par suite,
R ayant son module <C £.
Supposons maintenant | AX | <; S. A plus forte raison, les modules des différences \k — X seront << 8, et l'on aura généralement
Ra ayant son module << t.
Substituant ces valeurs des quantités /(^^), il viendra
^^ [/(X) -f- s] (^/,- ^,.0 n/(X) -h s] AX
%^ [/(X) - E](^,- ^,,) Z [/(X) - s] AX.
La quantité
ÂX~~
est donc toujours comprise entre /(X) -|- £ et /(X) — s. 11 en sera de même de sa limite
On peut, d'ailleurs, prendre £ aussi petit qu'on voudra, à condition de faire décroître suffisamment A^. On aura donc
à la limite
XX ^-Ax f{œ)dx
F'(X) = lim-^ — =:/(X).
Remarque. — Si l'on supposait X constant, mais ^o variable, l'intégrale définie
j j\x)dx
serait une fonction de Xç^. D'ailleurs, elle est égale et de signe contraire à
f{x)dx
dont la dérivée est égale, d'après ce qui précède, ^/'(xq]. Sa dérivée sera donc — /'{^o)-
82. Le théorème qui précède montre que toute fonction f{x) continue dans l'intervalle de a à h est la dérivée dUine autre fonction F(^).
Il est, d'ailleurs, aisé de trouver l'expression générale des fonctions qui ont pour dérivée /(^). Soit, en effet,
Tune d'elles. Sa dérivée sera
Pour qu'elle se réduise kf[x)y il faut et il suffit que o' (œ) soit nul. Donc, 'f{x) se réduit à une constante c (79), qui peut d'ailleurs être choisie arbitrairement.
Lorsqu'on a obtenu, par un procédé quelconque, une fonction ^(^) ayant pour dérivée /(^), on trouve, sans peine, la valeur correspondante de c. En effet, dans l'équation
f f{x)dx=:§{X)
faisons X = ^o- Le premier membre s'annulant, il vient
par suite.
f{x)dx^§{X)-${x,).
On nomme fonctions pj'imitives ou intégrales indéfinies de f{x)j les fonctions qui ont pour dérivée f{x). On les désigne par la notation
x) dx
pour mettre en lumière leur liaison avec l'intégrale définie. Cette expression, comme on vient de le voir, ne représente pas une fonction déterminée, mais une infinité de fonctions, différant les unes des autres de quantités constantes.
83. Dérivation des intégrales définies par rapport à un paramètre. — Soit /{oc^y^ . . . , a) une fonction des variables ^, JK, . . • , a qui reste continue tant que x^ y, . . . restent intérieurs à un domaine D et a intérieur à un domaine A.
Soit E un domaine borné et parfait intérieur à D; pour toute valeur de a intérieure à A, l'intégrale
1 = j^ fi^^fy •••.a)
de
aura une valeur déterminée; c'est donc une fonction de a.
Cette fonction est continue ; car, si l'on change a en a -|- Aa, elle prendra un accroissement
Al = V /{a;, y, . . . , a + Aa) «ie — V f{œ, y, . . . , y.) de
dont le module ne pourra surpasser LE; L étant le maximum du module de i^fi^x^ y, . . . , a).
Or, soit 3 une quantité dont le module soit moindre que l'écart de a à la frontière de A; le point a -j- Aa sera encore intérieur à A, tant que | Aa ] sera ^o. La fonction /" restera donc continue tant que x, y^ ... se mouvront dans E et que le paramètre variera entre a — 8 et a -h 8. Cet ensemble de valeurs étant évidemment borné et parfait, la continuité de/' y sera uniforme; donc L, et par suite AI, tendront vers zéro avec Aa.
Supposons de plus que f considérée comme fonction de a seulement (^, y^ . . . conservant des valeurs constantes) admette une dérivée; ce sera une nouvelle fonction de x^ jK, ••-,«, que nous pourrons désigner par fi{x^ j^, . . . , a), et nous aurons
^ fi^^y^ ...,2c) —frj^^x.y, ...,a4-0Aa) Aa,
8 étant une quantité variable, mais toujours comprise entre o et I.
Si nous admettons enfin que/^J soit continue dans le même champ où nous avons déjà supposé que /Tétait, cette expression sera de la forme
[/;(^,y, ...,a)-+-R]Aa,
R tendant uniformément vers zéro avec Aa, dans tout le domaine E.
On aura'donc
— = |^^[/a(^,JS ...,a)-hR]^e Soit L, le maximum de | R | dans E; on aura
Ue
de
quantité qui tend vers zéro avec Aa. On aura donc ,. AI
lim— = 1^ fa{x,y, ...,y.)de.
L'intégrale I admet donc une dérivée, représentée par l'intégrale ci-dessus.
t 84. Intégration par parties. — Soit
I une fonction formée du produit de deux autres. On aura
i et, en intégrant de ^ = a à ^ = 6,
fl ^'{x)^{x)dx-^ f o{x)^'{x)dx ' ^J^^ df{x)^f{b)-f{a).
Cette équation ramène, comme on voit, le calcul de l'une
des deux intégrales qui figurent au premier membre au calcul de l'autre, qui pourra se trouver plus simple.
Ce procédé de réduction a reçu le nom à' intégration par parties.
Quant au second membre f{b) — /(<^ï)> il conviendra, lorsque la fonction f{x) a une expression compliquée, de le représenter par la notation abrégée
