On représente parfois une courbe par une équation
entre l'arc compté à partir d'un point quelconque et la courbure à l'extrémité de cet arc. Ces deux quantités, dépendant d'une même variable ^, sont en effet fonctions l'une de l'autre.
Cette représentation a l'avantage de n'introduire aucun élément étranger à la courbe, comme le sont, dans le système cartésien, les axes coordonnés. Il en résulte que deux courbes égales, mais différemment situées dans le plan, auront la même équation.
Pour passer de l'équation d'une courbe ainsi définie à son équation en coordonnées cartésiennes, on prendra la dérivée de cette équation. Il viendra
ou
44o PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE IV.
De cette équation entre les dérivées de j', il restera à déduire cette fonction.
Ce problème est du ressort du Calcul intégral, et nous ne pouvons que le poser en ce moment.
455. Proposons-nous d'appliquer les formules qui précèdent à quelques courbes simples.
Parabole. — On aura
d'où, en prenant x pour variable indépendante,
Différentielle de l'arc :
ds
Équation de la tangente :
Rajon de courbure :
R= ^ .rV i.r
Développée : les formules (8) et (9) donnent
APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DE LA SÉRIE DE TAYLOR. ^^l
On en déduit
Mais l'équation >•-= 2/? .r donne
Substituant dans cette équation les valeurs de x et j^ il
vient
or^-
