Ellipse. — On a
équation qui équivaut aux deux suivantes :
j^^z acost, y z=^ b sint.
On déduit de celles-ci
^'r=— asin^, /' = bcost,
œ"=z— acost, y"zzz— b sint, puis
x'y" — fx"—ab.
On aura donc, pour la différentielle de l'arc,
ds — \Ja} siii^ t -i- 6^ cos^ t dt ;
pour l'équation de la tangente,
X — <2 ces t Y — è sin ^
— a sin^ b cos^ ^
pour le rayon de courbure,
(a2sin2/4- b'^cos^t)''
ab
et, pour les coordonnées du centre de courbnre,
b cost(a^ sin^t -]~ b^ coB^t) a"- — ^^
a = <7 CCS t -, = cos^ t
ab a
(en reniplaçant sin-^ par i — cos-^),
a sin t{a°^ sin^^ H- b'^ cos^ l)
b Bill l —
ab
iin^/
(en remplaçant cos-^ par i — sin-^).
On en déduit
(«2— Z>2)^^ cos^= («a)%
(a'^—b'-y sin t--=z{b'^y.
Elevant au carré et ajoutant, on aura l'équation de la développée
{aoLy -i~{b?>y^{a^-b^y.
-457. Cycloïde. — On donne ce nom à la courbe engendrée par un point d'un cercle qui roule sans glisser sur une droite fixe.
Pour obtenir les équations de cette courbe, prenons pour axe des jK la perpendiculaire menée par le point décrivant au moment où il se trouve sur l'axe des x.
Considérons une seconde position du cercle générateur.
Soit OA. {fig. i3) la quantité dont le point de contact s'est
déplacé sur la droite OX. D'après la définilioD du roulement, il devra s'être déplacé de la même quantité sur le cercle. Le point qui décrit la cycloïde se trouvera donc dans une position B, telle que l'on ait AB = AO.
Cela posé, soient a le rayon du cercle, t l'angle ACB, que nous considérons comme variable indépendante. On aura
AO = AB r=z at,
X = OA — BD z=i al — a sin t^ y =: AG — CD = « — a cost.
On déduit de ces équations
x'=:za{i — cos^), y'^=zasint, x" = a sin t^ y" ^=- a cost,
x'^ -\- y- =^ 2 a^i — cos t), ^y y .x" =n — «2 ( I __ ces 0 .
La différentielle de l'arc sera donc
a\^2 — ■ 1 ces t dt.
La tangente aura pour équation
a{\ — cos^) a sin t La normale aura pour équation
(X — ^') (i — cos^) 4- (Y — /) sin^ = o.
Le point où elle coupe l'axe des x s'obtiendra en faisant Y = o dans cette équation. On trouvera
ysin^ , . ,
X=:: ^ H -=: a(t — ^ siH ^ ^- <^ sm ^ = at,
I — cos^
La normale passe donc par le point A, où le cercle générateur touche l'axe des œ.
La distance N de ce point au point B, qu'on nomme la lon- '' gueur de la normale, sera donnée par l'expression
N = y/(X — x)'^-^ y- == \Ja^ sin^ t-\~a'{i — ces t)'^ = a y/2 — 2cos^.
Le rayon de courbure sera égal à
\2a^(i — cosOl" / :
^ -^ = — 2a V Si — 2 cos^.
— a'^{i — cos^)
H est donc double de la normale en grandeur absolue. Les coordonnées du centre de courbure seront
OL zrz a{t — sint) + '.iasiutzzz a{t -H sin^),
3 = a(i — - cos^) — 2 a{i — cos t) r= — a{i — cosO-
Posons, dans ces équations, t =^r.^ tr-> elles deviendront
a= a~ -{- a{ti — sin^i), (3= — 2(7 4- a(i — cos^i),
et l'on voit qu'elles représentent une cycloïde égale à la proposée, mais déplacée de ar^ dans le sens des .r et de — 'la dans le sens des y.
