VII. — Dérivées partielles. Différentielles totales
85. Passons à la considération des fonctions de plusieurs variables.
Soit, par exemple, w=y(^,jK) une fonction de deux variables x, y définie dans tout l'intérieur d'un certain domaine D.
Soit (^,^') Lin point quelconque intérieur à D. On pourra déterminer une quantité 3 telle que tous les points
où
I A^ ! -r I Ay I < Ô,
soient encore intérieurs à D.
Changeons ^ en ^ + A.r, sans faire varier y. Si l'expression
tend vers une limite fixe quand A^ tend vers zéro, cette limite se nommera la dérivée partielle de / par rapport à ^ au point x, y. On la représente indifféremment par l'une ou l'autre des trois notations suivantes :
fx{^,y)^ ^xj{x,y), -^
Si l'expression
tead de même vers une limite, ce sera la dérivée partielle par rapport à r, et on la représentera par les notations ana-
logues
Si en chaque point intérieur à D il existe des dérivées partielles, chacune d'elles sera une nouvelle fonction de œ, y, définie dans l'intérieur de D.
86. Supposons maintenant qu'au lieu de faire varier isolément ^, y^ on les change simultanément en œ -{- ù^x , / -(- AjK, et étudions l'accroissement
Cette expression peut se mettre sous la forme
f{.T -H A^,y 4- A/) — /(^, j 4- Aj) +/(^, r H- Aj) ~f{x, j) ou, en appliquant la formule (3) du n^ 78,
/; (^ -]- 0 Ix, 7 -+- Aj) A^ -r-fy{x, y -\- Oj A/) Aj,
B et 9, étant des quantités plus petites que l'unité.
Faisons tendre A^ et Anvers zéro. 0 A^ et 9, A^ tendent a fortiori vers zéro, de quelque manière que puissent varier B et 9,. Si donc les fonctions y^, f sont continues au point x^ y, les multiplicateurs de Ax et de ^y tendront respectivement vers /^{oc^y) et f'y.{x^y).
Soit d'ailleurs E un ensemble borné et parfait quelconque intérieur à D et dans lequel /^, /' soient continues. Leur continuité sera uniforme. On pourra donc, quel que soit s, assigner une constante ù telle que pour tout point de cet ensemble les différences entre ces multiplicateurs et leurs limites deviennent <^£ dès que | A^ |, | A^ | deviennent <^ S.
On aura donc
(0 A/(^,j)=r/;(^,j)A^4-/;(^,y)Aj-+-RA^ + R,Aj,
K et R, tendant vers zéro avec A.r et Aj/- (et cela uniformément dans tout l'ensemble E).
On voit donc que Lfi^x^y) se compose de deux parties, l'une
simplement linéaire en ^x et Aj", l'autre composée de termes d'ordre plus élevé que Fun ou l'autre de ceux qui précèdent.
L'expression (2) se nomme la différentielle totale de fi^x^y). Les deux termes qui la composent sont les différentielles que l'on obtiendrait en faisant varier une seule des deux variables x^ y et laissant l'autre constante. On leur donne le nom de diff'érentielles partielles.
Si l'on supposait, en particulier, que la fonction f{x^y) ne fût autre que x^ f'^{x,y) se réduirait à i , elf'^(x^ y) k o. L'équation
se réduirait donc à
dx = ^x.
En supposant que f{oc-, y) se réduisît à jk, on trouverait de même
dy^^^y, et, par suite,
(3) d f{x, y)—f'^{x, y) dx -hfy{x, y) dy.
Ainsi qu'on l'a vu aux n°^ 73 et 79, la condition nécessaire et suffisante pour que f{x^ y) reste constante lorsque x varie seul (et, par suite, se réduise à une fonction de y) est/;(^,7) = o.
De même, la condition nécessaire et suffisante pour que f{x, y) ne dépende pas de^r est fy{x.^ y) = o.
Ces deux conditions réunies exprimeront que f est indépendant de X et de y, et, par suite, se réduit à une constante. Elles peuvent être résumées en celle-ci
Car, pour que cette expression, égale à
s'annule identiquement, quels que soient A^ et Ay, il faut et il suffit que/^(.r, j)') et/^.(^, y) soient nuls séparément.
87. Admettons que, par un procédé quelconque, on ait mis A/(x, jk) sous la forme
(4) ^/{^y y) = A. dar -\- B dy -h S dx -h Si dy,
A et B étant indépendants de dx et dy, et S, Sj tendant vers zéro en même temps que dx, dy \ on aura
A=/;(^, r), B=/;(^, j), d f{x, y)-=.Kdx '\-B dy.
Egalons en effet les deux expressions (i) et (4) de S.f{x,yy, il viendra, en divisant par dx^
Faisons tendre dx et dy vers zéro, de telle sorte que — — tonde vers une valeur fixe \\ on aura à la limite
