Plan oscillateur. — L'équation
(3) AX + BY-hGZ-^D = o
contient trois paramètres (les rapports des coefficients A, B, C, D) dont on peut disposer pour établir entre le point et la
courbe un contact du second ordre. Cette condition sera exprimée par les équations
(4) A^ -HB/ +G^ 4-Dz:rO,
(6) Aœ'-hBy^Cz' =0.
Des équations (3) et (4) on déduit d'abord
(7) A(X-.2.)-hB(Y-j)4-G(Z-^).= o.
Éliminant ensuite A, B, G entre (5), (6), (7), il viendra
Les coefficients A, B, G auront donc, à un facteur commun près, qu'on peut supposer égal à l'unité, les valeurs suivantes :
Ces coefficients satisfont identiquement aux équations (5) et (6), ainsi qu'à celle-ci :
(8) A'^'+By-^G'^' = o,,
laquelle s'obtient en prenant la dérivée de (5) et supprimant les termes qui se détruisent en vertu de (6).
469. L'équation ci-dessus du plan osculateur contient le paramètre ^, variable d'un point à l'autre de la courbe. Considérons la surface enveloppe de ce plan, lorsqu'on fait varier ce paramètre.
La caractéristique de cette surface sera donnée par l'équation
jointe à sa dérivée par rapport à t
A'{X-œ) -^B'{Y-y)-{-C'{Z-z) ~ Aœ' -By' — Cz' :=o.
Celte dernière équation se réduit à
(10) .A'(X — ^)-hB'(Y- y) +C'(Z — ^)r=o,
en vertu de l'équation (5).
Cette caractéristique n'est autre chose que la tangente
au point {œ, jk, ^). i^n effet, si l'on donne à X — x,Y — y, Z — 5 des valeurs proportionnelles à x' , y' ^ z' ^ les équations (g) et (lo) seront identiquement satisfaites, leurs premiers membres contenant en facteur les quantités Ps.x'-f-^y'-^-Qz' , etA'^'-hBV-f-CV.
Le point où la caractéristique rencontre l'arête de rebroussement est défini par les équations (9) et (10), jointes à la dérivée de l'équation (10). Celte dérivée se réduit à
en tenant compte de l'équation (8).
Les équations (9), (10), (i i), combinées entre elles, donneront évidemment
Donc la surface enveloppe des plans oscillateurs a pour caractéristiques les tangentes à la courbe proposée et pour arête de rebrou ssenient cette courbe elle-même.
Réciproquement, soit donné un système quelconque de plans P dont l'équation contienne un paramètre t. En faisant varier ce paramètre, on obtiendra une surface enveloppe dont les caractéristiques seront des lignes droites, tangentes à l'arête de rebroussement, et le plan P, ayant un contact du second ordre avec cette arête de rebroussement, lui sera osculateur.
On donne le nom de surfaces développables aux surfaces engendrées par les tangentes à une courbe, ou enveloppes
APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DE LA SÉRIE DE TAYLOR. f\5'J
d'un plan variable dont l'équation ne contient qu'un paramètre. Ces deux définitions sont en général équivalentes, comme on vient de le voir.
Toutefois, la seconde a sur la première l'avantage d'embrasser les surfaces coniques et cylindriques.
On obtient les surfaces coniques en supposant que le plan variable soit assujetti à passer constamment par uTi point fixe, qui sera le sommet du cône. Ce point unique jouera le rôle dévolu en général à l'arête de rebroussement.
On obtiendra les cylindres en supposant que le plan variable reste constamment parallèle à une droite fixe. Les génératrices caractéristiques, étant parallèles à cette droite, ne se couperont pas. La surface pourra être considérée comme la limite d'un cône dont le sommet s'éloigne à l'infini dans une direction déterminée.
470. Ençeloppe des plans normaux. — Le plan normal au point {x, y^ z) a pour équation
Cette équation contient le paramètre t. En le faisant varier, on obtiendra pour enveloppe une surface développable.
La caractéristique de cette surface est une droite qu'on nomme Vaxe du plan osculateur. Elle a pour équations
Elle est perpendiculaire au plan osculateur, car les équations
trouvées plus haut, montrent que chacun des deux plans N = o, — - 1= o est perpendiculaire au plan osculateur.
Enfin l'arête de rebroussement de cette surface sera donnée par les équations
ON dt
=ir O.
471. Cercle osculateur. — Les équations générales d'un cercle sont
a, ^, Y étant les coordonnées de son centre et R son rayon.
Nous avons ici six paramètres : a, ^, y, R, — ? — ■> qu'on
pourra déterminer de manière à obtenir un contact du second ordre au point [x^ y, z).
On aura, à cet effet, les six équations de condition
(i3) .x-'(.T-a)4-/(j--p)H-2^(^-y) = 0, (i4) œ" {x ~ 7.) -^- y" {y — ^) ^ z" {z ~ y) ~\- x'^ -\- y'^ -^ z'-'^-O, m(^ — a) 4-/z(j— p) -t-/?(^ — y) = o, mx' -\- Il y' -^ pz' :=: Q,
m x" -h ny" -\- p z" ^=. o.
Des trois dernières on déduit, en éliminant m, /?, />,
ou
Cette équation montre que le point (a, p, y) est dans le plan osculateur.
La deuxième et la troisième montrent que ce point se
trouve dans les deux plans N = o, -3— = o, dont l'intersection est l'axe du plan osculateur. Le centre cherché se trouve donc à Vintersection de cet axe avec le plan osculateur. Pour calculer a, fi, y? R? nous résoudrons les équations
(i3), (i4) et (i5) par rapport à ^ — a, y — [B, ^ — y. Le déterminant
x" y" z" ABC
de ces équations étant égal à A- -\- B- -\- C^, on trouvera
{Cy'—Bz'){x''^-^-y''^-^z'-')
A-+BM-G'^
(A^^-C^^) ix'''-^y^-\-z'^) A^+B^-hG-^
m et, en substituant dans (12),
■ '^ (A2-kB2-+-G2)2
Or la quantité entre parenthèses peut s'écrire
(A--t-B2-HG2)(^'2^/2^5'2)^A^'H-B/-i-G^
et comme
il viendra
A^'+Bj'H-G^' = o,
{x'^-hy
y/Â2-HB2-+-G2
