Sphère osculatrice. — L'équation d'une sphère

46o PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE IV.

contenant quatre paramètres, on pourra obtenir un contact de troisième ordre.

On devra, pour cela, satisfaire aux équations

M z= œ' {a^ — a) -i- y' {y — b) -\- z' {z — c) zz= o^ ÔM

dont la première donnera p^, après que les trois autres auront fourni a, b, c.

Le lieu des centres des sphères osculatrices n'est autre chose cjue V arête de rebroussement de V enveloppe des plans normaux. Car ce lieu s'obtiendrait en éliminant t entre les

,. dM ^2 M 1, . 1 1

équations M := o, -r- == o, — -- = o, et 1 arête de rebrous - ^ ' dt ■ ôf^

„. . . ' • AT à^

sèment, en éliminant t entre les équations IN = o, ^- ;= o,

-— = 0. Or x\I ne diffère de JN que par le signe et par la

désignation des coordonnées courantes (a, />, c, au lieu de X,Y,Z).

Nous admettrons, pour simplifier le calcul de a, b^ c, p, que nous ayons choisi pour variable indépendante l'arc s de la courbe, compté à partir d'un point fixe. On aura, dans cette hypothèse, t=zs, d'où

dt — ds^:z \Jx'^ -h r'^ ^ z'- dt

(l6) jc<-^^y'-^.^z'-'=:l.

Prenant la dérivée de cette équation, on aura la suivante

Formons les dérivées de M en tenant compte de ces rela

lions. Il viendra

de-

En désignant par D le déterminant

Al

~lll

on déduira de ces équations

On aura de même

et enfin

^/(^ af-^iy - b)'^{z - c)2 =:

On peut donner à cette valeur de p une autre expression. I.e point (a, ù, c) étant sur l'axe du plan osculateur, qui coupe ce plan au centre du cercle osculateur, p sera l'hypoténuse d'un triangle rectangle ayant pour côtés R et la distance h du point (a, b, c) au plan osculateur.

Or, le plan osculateur ayant pour équation

on aura

"" D ± ^ÂT+'BH^^ . A2-i-B2-f-G^

Jû V^y/ÂMTë^-H-G^

Mais, en tenant compte de l'équation (i6), on aura

A^ -i- B'^ -f- G^ Désignons, d'autre part, par /• la quantité ^.-—

(que nous retrouverons plus tard sous le nom de rayon de torsion)', il viendra

d'où