Angle de T^ avec T. — On sait que l'angle cp de
deux droites, dont les cosinus directeurs sont respectivement
proportionnels à a, 6, c et à ^4 , 64 , Ci , est donné par la
formule
aa^-\- bbi-+- ce,
ces 9 r= , , — ■ , , •
On en déduit )
• 2 __ (<^^-^ ^^-+- <^^)(<^? + ^? + ^1 ) ~ (^'^1+ ^^1 + <^'<^i)^ ^'" * "^ {a^-h b'-i-c-'){a'l-i-bl-i-cl)
__ {bc^ — cb^)'''^ (cai —ac^Y-^{ab, — ba,Y " {a'~-\-b^-+-c'){a\-^b\-\-c\)
Pour appliquer cette formule, il faudra y remplacer a, b, c, a<, ^,, Cl par leurs valeurs actuelles
x', y', z\ x'-\-Lx\ y'-^^y, 5' 4- A3', ce qui donnera
Aj;', Ajk', Az', étant infiniment petits, peuvent être négligés au dénominateur, qui est fini. Au numérateur, on les remplacera par leurs valeurs approchées x" dt, y" dt^ z" dt. Il viendra alors
sm^o = — — — — -— — — di^.
Donc cp, qui est égal, au troisième ordre près, à sincp, aura pour valeur approchée
Nous appellerons courbure, comme dans les courbes planes, la limite du rapport de l'angle de deux tangentes voisines à l'arc qui sépare les points de contact. Cette limite est évidemment égale au rapport des valeurs principales de
ces deux quantités; en la désignant par A', nous aurons donc
ds
R désignant le rajon du cercle osculateur.
Ce cercle, son rayon et son centre pourront s'appeler, comme pour les courbes planes, cercle, rayon et centre de courbure.
475. Angle de P avec V^. — Cet angle ^, égal à celui des normales à ces deux plans, sera donné par la formule suivante, analogue à la formule (17)^
sm-^^
(B aC — C aB)^ 4- ( C Ar\ — A aG)^ -^ ( a aB — B A/V)\
(/V^4-B2 + C'^)UA + AA)2-r-(B^AB) + (C + AC)M'
au dénominateur, on pourra négliger AA, AB, AC ; au numérateur, on les remplacera par leurs valeurs approchées
dk-:=i{y' z'"— z'f)dt, d^ — {z'x'"~x'z"')dt, dC'^{x'y"'~-y'z"')dt.
Posons, comme piécédemment.
on trouvera
BAC-GABrrrD^'t/^,
CAA-AAC=rD/^^, A AB — B aA = D z' dt.
d'où
sin^«|; =z
z'^)dr-
D2 ds'
et, en remplaçant le sinus par l'arc,
ds.
IjdL quantité -7- = -— r— — -7^ se nomme la torsion de la
courbe ; nous la désignerons par t. Son inverse se nomme le jxiyon de torsion.
476. Angle de P avec T^. — Cet angle Q est donné par la formule
sin6 —
Au dénominateur, on peut négliger Lx\ Ajk', A^'. Au numérateur, on les remplacera par leurs valeurs approchées x" dt -^^x" dt^, y dt + 'r.f dt\ z" dt -\-{z!" dtK
Remarquant que Ton a
A^' -hB/ -vCz' =0, Ax" -^By"-hCz"z=:o, kx"-^By'^Cz"^zzzD,
et mettant 8 au lieu de son sinus, il viendra
-ID ^, zkds^ dt' =
477. Distance de p à T. — Nous avons trouvé, pour la distance du point (a, a,, ao) à la droite
X=za-\-bty Y = ai^ bit, Z = a^-i~ b-jt,
la formide
^ /[(ai — ai) Z>2— (^2 — «2)^1!'+ [( a^,— oc^)b — {a — %) b^f-i ~ V W^+^bf^Tbf
Nous avons ici
azizx, a^^^y, cf^=zz,
è = ^', bi^y, b^ — z'.
J - I. .Sn
La formule deviendra
/( y ^z — z' ^y y -+- ( ^' A^ — .Z-' As )2 -+- ( .r' A/ — f A.r )2
^/2 ^ yz ^ ^/2
oiij en remplaçant A^, Ay, As par leurs valeurs,
^y ^- y dt -\- y" -^— +...,
As r= s'âf^ H-
dt'
),kds\
478. Distance de />< à P. — Elle est donnée par la formule connue
^ , A ( ^ + A.27 — ^ ) 4- B ( y 4- Ay — y ) -H G ( s + As — s ) ou, en remplaçant A^^ Aj^, As par leurs valeurs approchées,
X'dt-'r-\x"dt}^\x"'dt''
8rr.zb
V^A'^+B'-^-hC^
dt'
zkds^ _____
479. Distance de T à T, . — Appliquons la formule trouvée pour la distance de deux droites, en j posant, pour a, a^ , ^2, Z>,; 6<, Z>2, a, a,, ao, [^, pi, P2, leurs valeurs actuelles ^, y, s,
x' ^ y, s', ^-l-A^, jK-i-A/, s -h As, :r'H-A^', y -\- ^y\ s' H- As'. Il viendra, pour la distance cherchée £,
v/^/'As'— s'A/')2-|- (s'A^'— ^■'A3')-^-i- {x' Ly' — y' t^x' )-
A^ Lx' — x' L— Aj Ar' — /'
As As' —s'
Le dénominateur a pour valeur principale y/A^ 4- B^ -{-C^ dt. On a, d'autre part,
dt^
de
., df" ... de
fdt-^f-^-Vf-^-^
x"dt'^x"'
de
de
y"dt-\-Y"—^
z' dt
de
de
z"dt
de
OU, en ajoutant aux termes de la première colonne ceux de la deuxième et de la troisième, respectivement multipliés par — \dt et par dt (ce qui n'altérera pas le déterminant),
de
x"de{i^-~l-)
x" dt-\- x''
y-de{\-\)-^... fdt-^y-^
de
fde{\~-\)-^.,. z"dt~
ou, en réduisant chaque terme à sa valeur principale,
Donc
\.^i,de
±:D de
de.
kzds'
480. On nomme plans oscillateurs stationnaires ceux qui correspondent aux points où D = o. La torsion étant nulle en ces points, le plan osculateur P s'y confondra, au deuxième ordre près, avec le plan osculateur en un point/>, infiniment voisin.
En outre, 5 étafifcmil, la distance de P à /?< sera du quatrième ordre. Le plan P aura donc un contact du troisième ordre avec la courbe, et se confondra avec la sphère osculatrice.
On voit par là que les plans stationnaires sont analogues aux tangentes d'inflexion des courbes planes.
481. Proposons-nous encore de calculer la différence entre un arc infiniment petit et sa corde.
Nous simplifierons un peu les calculs en admettant qu'on ait pris pour variable indépendante l'arc s.
On aura, dans ce cas,
et, en différentiant, puis
La formule de la courbure se réduira à „
k r= v^A^ -^B'-hO=z^œ"'--i- y' -^z"\ On a, en effet,
r=z{a^""'-^y^-{-z"'~){œ^'--+-y''-hz"-) — {x'a^'-hyy-^z'z"y,
quantité qui se réduit à x"^ ^ y'--^ z"- d'après les équations précédentes.
Cela posé, soit ds un arc infiniment petit; sa corde sera y/A^'--i- A/--h A^^^ Jl s'agit d'évaluer la différence de ces deux expressions.
On a identiquement
ds'- — ( A^^ + Ay^ 4- A j2 )
ds — y'A^'^ + Aj2 4 As2 ^^i
ds
Le dénominateur de cette expression est sensiblement 2 <i5. Pour avoir le numérateur, on remplacera A.:r, Ay, ^z par leurs développements,
„ds^- ,ds-'
^x'ds-^œ" -\-x"' ,.
Développant et ordonnant suivant les puissances de ds^ il viendra
(i ^'2 y2 .12) (is^ ^jc' ^" ^ y yn ^ z'z")ds^
Les coefficients des termes en 6/5- et ds^ s'annulent. Celui du terme en ds'* sera, d'après les équations précédentes,
Donc la différence cherchée a pour valeur principale ^2 12 k'^ds^
2 ds
482. On nomme normale principale au point (^, y, z) la perpendiculaire à la tangente située dans le plan osculateur; binormale la perpendiculaire au plan osculateur. Ces deux droites forment avec la tangente un trièdre trirectangle. Déterminons les cosinus directeurs de ces trois droites : i" Les cosinus directeurs a, b^ c de la tangente, étant proportionnels à x' ^y\ z' ^ seront respectivement égaux à
x' dx y' dy
\l x"" -\- y'^ ^ z"- ds y/^2^^y/2^j/2 ~ ds
z' dz
\Jx'-^ -\-y'--^z'-^ '~ ds
2° Ceux de la binormale a, ^, y étant proportionnels à A, B, C seront égaux à
