I.(^^'^ 7) -^Z; (^S 7) X = A + BX

P Cette égalité, ajant lieu quel que soit)., se décompose dans les deux suivantes

■ 88. La remarque qui précède permet de déterminer aisément les dérivées partielles et la différentielle totale d'une fonction composée.

Soit, en effet, une semblable fonction

w, r, .,. étant elles-mêmes des fonctions des variables indépendantes x^ y^ ....

Pour obtenir la différenlielle totale de cette expression, considérée comme fonction de ^,y, ..., donnons à x^y, ... des accroissements dx^ dy^ .... Soient Au, Av, . - ., A/ les accroissements correspondants de u, v, ••.,,/. On aura

A/=z ^ Af^ -H ^ A(; -h . . . -4- R A;/ -h Ri Ac^-f- . . . , du d^

R, R, , ... tendant vers zéro avec A?/, Av, .... Mais on a, d'autre part,

du " dx

j du dy

S dx -h

=--du

-\-^dx ^

■Si

dv '-'dx

dx '\- ^dy

T dx 4-

^di^^Tdx^

S, S, , . . . , T, Ti, ... tendant vers zéro avec dx, dy^ . . . Substituant ces valeurs dans l'expression de Af, il vient

.• àf , df ^

A/ r= ~ du H- -r^ «(' H- . . . + p dx + pi dy + . . .

^« ^^ {^p dx

(df du df dv \ ,

-^ . . . -f- p 6/j7 4- pi (^/ 4- . . . ,

0,0,, ... tendant vers zéro avec dx^ dy. On aura donc

àf

df du df dv du dx dv dx df du df dv du dy dv dy

t d'autre part

df . df , -- -f du H- -f ^(^ -h . . . :

du dv

d'oii les deux propositions suivantes :

La dérivée, par rapport à une variable indépendante x^ d' une fonction composée f(yU^ r, . . .) s'obtient en ajoutant

ensemble les dérivées partielles —-, — ? •••) respectivement multipliées par les dérivées de u^ r, . . . par rapport à X.

La différentielle totale df s^ exprime au moyen de u^ (', . . . , du^ dv, . . . ^ de la même manière que si u, v^ ... étaient des variables indépendantes.

89. Supposons que des fonctions u^ v, . . . des variables indépendantes x^y^ ... satisfassent identiquement à une équation

Le premier membre de cette équation étant une fonction composée de x, y\ ... dont la valeur est constante et égale à zéro, ses dérivées par rapport à chacune de ces variables sont nulles. On aura donc

^ df df du Ofâv^

dx du àx dv dx ' ' '

df dfdu df dv __

dy du dy dv dy ' ' '

Ainsi toute identité f{u, c, . . .) = o fournira de nouvelles identités en égalant à zéro les dérivées de son premier membre par rapport à chacune des variables indépendantes.

Ces nouvelles équations peuvent d'ailleurs se concentrer en une seule

df ^^ -f- dx -\- -f- dxh-{- . . . == o. dx dy ^

90. Nous dirons qu'une fonction f[x^y^ . . .) est définie (ou jouit d'une propriété donnée) aux environs du point

8o PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE I.

{xo^yo, .. .) si l'on peut déterminer nn nombre positif A, tel, que la fonction soit définie (ou jouisse de la propriété demandée) pour tous les points (x, y, . . •) où \x — œo\,

\y—yo\, ... sont^A.

91. Théorème. — Soit F(jo^y^ ..,,u) une fonction des variables ^, j', . . ., u^ laquelle s'annule au point

Supposons : \^ qu'elle soit définie et admette des dérivées partielles continues F'^, F^., ..., FJ^ aux environs de ce point; 2° que ¥[^ ne s'annule pas en ce point.

On pourra déterminer une fonction des variables x^ y^ . .. définie aux environs du point (^05 JKo? " -) et prenant en ce point la valeur Wo, et qui enfin substituée à la place de u dans l'équation F= o, la rende identicjuement satisfaite ; cette fonction sera unicjue et admettra les dérivées partielles

En vertu des hypothèses faites sur l'existence et la continuité des dérivées partielles F^, F^, ..., FJ^, on pourra déterminer une quantité positive A, telle que, pour tous les points {x,y^...^u) où \x — Xq\^ Ij— J'o!, -.5 \u — U(s\ sont ^A, ces dérivées partielles existent et diffèrent de leurs valeurs initiales (F^)o, (F^,)o, ..., (F^)o de moins de s, en désignant par £ une quantité positive choisie à volonté, mais que nous supposerons moindre en valeur absolue que (F^'Jo.

Si donc on désigne par A la plus grande des quantités I (F;)o I h- £, I (F;)o I + £, . . . et par B la quantité | (F;)o | — £, on aura, pour tous les points considérés,

En outre, F^'^ conservera toujours le signe de (FJ^)o.

Cela posé, soit^ + i le nombre des variables ^, JK, • . ., u ;

VARIABLES RÉELLES. bl

désignons par k le plus petit des deux nombres A, — -h. On

aura, pour tous les points (^0 + ^-^7 . . . ^ Uq-\- ^.u) =^ {x , . . . ^ u) où ^x ^ A-, AjK < A-, ... et Aw ^ A,

F(^,/, .. ., ^0= F(>^'/j ••.,«) — F(-3:^oj7o, .••, «0)

Chacun des m premiers termes de cette expression a son module <C AA. La somme de leurs modules est donc

<mAk<hh.

Mais, d'autre part, le dernier terme a son module plus grand que B I Aw |.

Si donc nous posons, en particulier, Au =^dz h^ ce terme l'emportera sur la somme des autres et donnera son signe à l'expression. D'ailleurs, le facteur

a toujours le même signe, celui de (F[^)q. Donc, si l'on pose successivement au = h et Au = — A, on obtiendra, pour F(^,y, ..., w), deux valeurs de signe contraire. Mais F est une fonction continue de w, elle s'annulera donc pour une valeur de u intermédiaire entre Uq — h et Uq-\- h. Elle ne s'annulera d'ailleurs qu'une fois, car sa dérivée garde le même signe dans tout cet intervalle.

Nous avons donc établi qu'à tout système de valeurs de x^ y, ..., tel que x — Xq^ y — jKo) ••• aient leurs modules non supérieurs à A:, correspond une valeur unique de u comprise entre Uq — h et Uq-\- h et satisfaisant à l'équation F = o. L'ensemble de ces valeurs constituera une fonction de ^,jr, ... entièrement définie dans ce domaine, et qui se réduit évidemment à Uq au point (^ojJKo? • • .).

Soient d'ailleurs (^, y, . . .) et (^ + A^, y + Aj/, . . .) deux points de ce domaine; u et ;^ + A;^ les valeurs correspond J. -I. 6

dantes de cette fonction. On aura

G = F(^ H- Lx, y -\- Aj, . . ., a -\- ù^u) — F(^,y, . . . , u) := F^ (^ + 6 Lx, y, . . . , u) l^x

-F F^ (^ -h A^, y H- Oi A/, . . .,ii) t.y -h. . . + F;^(^ h- A^, J + A/, . . ., f^ + ^ni^u) ^«.

Le lïiultiplicateur de A^^ ayant son module plus grand que la constante B, cette équation montre que A^^ tend vers zéro avec A^, Aj^, ....

Faisons, en particulier, Ajk=...= o. L'équation se réduit à

o— F;(^ + ^^JC, y, .. .,u) Lx

d'où

ù^ii __ F^(^ + 6 A.-r, y, . . . , u)

Ax F^(^ + A^, j, . . ., i^ + 0,„ A«)

et à la limite, en faisant tendre A^ vers zéro,

du dx

Les autres dérivées

se détermineraient de même.

92. Théorème. — Soient Fi, ..., F„ n fonctions des m + n variables x^ y, . . .; u^ v, w, . . . s^ annulant au point (^oj.yoj •••; ^^0, ^oj ^^05 •••)• ^^ ^'^'^ suppose : i" qu aux environs de ce point, ces fonctions admettent des dérivées partielles continues ; 2° que le déterminant

d¥, ÔY, d¥, du ùv âw

ôF^ dK d¥^ du dv div

ne s^ annule pas en ce point, on pourra déterminer un système de fonctions des variables x, y, . . . définies aux en-

çl/'ons du point {xq, yo? • • •)? prenant respectwenient en ce point les valeurs Uq^ To, îvq, . . . et qui enfin, substituées à la place de u^ v^ w^ ... dans les équations F, = o, ..., F/;= o, les rendent identiciue nient satisfaites. Ce système de fon^ctions est unicjue, et ces fonctions admettent des dérivées partielles .

Ce théorème est établi par ce qui précède, dans le cas où Ton n'a qu'une seule équation, et nous pourrons, dans la démonstration, supposer qu'il ait été établi pour le cas de n — I équations.

Gela posé, pour que J soit ^ o pour le point Xq^ jko, • • • ; 'fai ^'o? ^07 •• •? il faut évidemment qu'une au moins des dé-

zero.

Soit,

par

rivées ^; — ^ -^ — ? -^ — ? ••• soit dilierente de

ÔUq OVq O^Vq

exemple, y-^ ^o. On pourra, d'après le théorème du ii" 91,

déterminer une fonction u àe x^ y^ ... ; <', (v% . . . qui satisfasse identiquement à l'équation ¥ ^ = o et qui admette des dérivées partielles aux environs du point x^, y^, ...; Pq, iVo, .... Substituant cette valeur de u dans les équations suivantes F2=o, ..., F/^=o, elles prendront la forme suivante

<t>2(^,7, . ..; v,iv, . ..)~o, ..., *« = o.

Les fonctions (I>2, ..., ^w, étant respectivement égales à Fo, . . ., F„, admettront, aux environs du point x^^, y^, ... ; v^o, Wq, . . . , des dérivées partielles

ôx

d¥^ d¥. du

du dx

Le déterminant

dç "

dF,^ dF, du di' du di'

~~dV

cl7v7

, . . sera, en négligeant

des dérivées partielles relatives à (^, les termes qui se détruisent,

ÔF^ dFj

dF,

dF.^

du dw

dF, du

dF, dw

dF, d^

dF, du

^ , du du

nempJacant t--> -^

par leurs valeurs

dF, ÔF,

dv dw

iF', ' ~ "^FT '

du du

endra égale à ; or ,

dF, et, comme -^ — a au ' du

point (^o^JKoi • • -5 ^^05 <^oi ^'^'oî • • •) une valeur Unie et différente de zéro, J, sera lui-même fini et différent de zéro.

On pourra donc, par hypothèse, déterminer des fonctions (^, (V, ... des variables indépendantes ^, JK, •••? qui satisfassent identiquement aux équations <I>2= o, <ï)3 = o, ...,qui se réduisent à Tq, iVo, • . . pour x = Xq^ j- z^y^, ... et qui admettent des dérivées partielles aux environs de ce point. Substituant ces valeurs de (^, w, ... dans l'expression de //, on obtiendra pour n, ç, (v, . . . des fonctions de x, r, ... satisfaisant aux conditions requises.

93. On donne le nom de fonctions implicites à celles qui sont ainsi définies par un système d'équations non résolues

[ Fi("3?, r, ..., u,v,w, . ..)=ro,

La démonstration précédente montre à la fois que ces

fonctions u^ v^ iv, ... existent et qu'elles admettent des dérivées partielles.

L'expression de ces dérivées partielles s'obtiendra d'ailleurs aisément en dérivant les identités (5) par rapport aux diverses variables indépendantes. On trouvera ainsi, en dérivant par rapport à ^, par exemple,

^F, d¥j du à¥\ âi^ ôFi dw dx du djc âv dx dw doc

doc du dx d^ dx dw dx

système d'équations linéaires dont la résolution donnera

-T— j -— 5 ^^ — , • • ') sous forme de fractions avant J pour dénodx dx dx . i.

minateur. Ce déterminant étant par hypothèse une fonction

continue de œ,y, ... et de u, ^, w, ... qui sont elles-mêmes

continues en ^, j/, ••• est une fonction continue de ^, y, —

D'ailleurs, au point Xq^ jKoi • • •? on a i^ = î/o, ^ = <^oj • • • et

J ne s'annule pas. Donc, dans un certain domaine autour de

ce point, J sera encore différent de zéro, et les valeurs de

1~' ^' *'* fo^i'^ies par les équations (6) ne pourront devenir illusoires.

94. Les considérations précédentes fournissent la solution d'une question importante :

Soient

m fonctions des n variables indépendantes ^,, ..., x,i admettant des dérivées partielles continues. Nous dirons que ces fonctions sont indépendantes s'il n'existe entre elles aucune relation qui permette d'exprimer l'une d'elles au moyen des autres.

Un système de fonctions tel que (7) étant donné, propo-

sons-noiis de rechercher combien il contient de fonctions indépendantes.

A cet effet, formons le tableau des dérivées partielles

dûCi

dx„

àf,

Avec les éléments communs à un certain nombre de b'gnes de ce tableau et à un nombre égal de colonnes on peut constituer un déterminant. Construisons tous les déterminants de ce genre. Nous pourrons énoncer le théorème suivant :

Théorème. — Si Vun des déterminants à p^ éléments, tel que celui-ci

ne s'annule pas au point (^,, . . ., ?,;), et si au contraire tous les déterminants à(p -f- 1)- éléments sont identiquement nuls aux environs de ce point :

i" Les fonctions u^, . . . . Up seront indépendantes aux environs de ce point.

2" Au contraire, Up^s, . . ., Um pourront s'exprimer en

àf^

âxi

ÔXp

Of,

dx^

'dx;

fonction de u^, . .

Un.

t" En effet, soient v^^ . . ., Vm les valeurs de u^^ .. , Um au point (H), ..., ^«). Les équations (7) étant mises sous la forme

fr,

le déterminant des dérivées partielles de leurs premiers mem.bres par rapport à x^, . . . , ^^, Upj^\ , • • • , Um sera évidem-

AARIABLES RÉELLES. 87

ment égal à ( — i)"^~/'D. 11 sera donc différent de zéro an point (?i, . . ., Ç/^, r<, . .., (^,„) et l'on pourra regarder les équations (8) comme définissant implicitement ^, , ...^Xp, tfp+i,...,Um en fonctions de î/<,..., Up^ Xp^i^ ...^Xn aux environs du point [v^ , ..., Vp, 'ip+\ i •••> ?«)• A chaque système de valeurs u^, ..., Up^ ^p+t^ ••••> ^n suffisamment voisines des valeurs initiales <^^, ..., (^^, ?/7+i, •••, \n correspondra un système de valeurs de :r,, . . ., Xp. Donc, réciproquement, U\^ .... Up pourront, par un choix convenable de valeurs (le ^4, . ..^ Xji prendre tout système de valeurs suffisamment voisin de (^< , . . ., Vp, Donc les fonctions u^^ . . ., Up sont indépendantes.

2° D'autre part, w^+i, .. .^ Um sont aussi des fonctions des nouvelles variables indépendantes u^, . . ., Up^ '^ja+ii - • -, Xn- Mais il est aisé de voir qu'ils ne dépendent pas de Xpj^^, .... x,i' Soient en effet z/^- l'une quelconque des fonctions Up+\, ••., Um-) ock l'une quelconque des variables Xp^^. ..., x,i'i nous

11 ^ àiii

allons montrer qu on a -r — = o.

^ dxi.

On trouve en effet, en dérivant les équations (8) par rapport à Xk-i

dh àx, ^ âxi dx/.

1 àf àxp ^ df, dXp dxk dxk

dfp âx, ^ dxi âxk

àfi âx, âxi àxf,

1 àfp ôxp ^ dfp âXp dxj, dxk

1 àfi dxp ^ dft dxp dxk dxk

àiii àx/,

âx d'où, en éliminant - — ^-•) •••

àXp

ôxk dxk

T% àui n àui

\j -; — ==o, et ennn - — =0.

Ox/^ ax/c

Donc «/,+!, ..., Um sont fonctions de u^^ ..., Up seulement, et la seconde partie du théorème est démontrée.