B(BA^ - ABQ 4- C(CA^ - AC^) ^^ (A^+ B2 + C

et de même ^

d'^ r=z {XT ds, d^ = vx ds.

Enfin

dl =^ d{^ b ~ ^c) z=zy db ^ b d^i — c d^ — ^ de ■=1 { — Yfxy^ 4- èvT — c fJLT 4- Pv /: ) flf.ç r=: ( pv — y\x.)kds -^ ( è V — c)x)'zds.

On a d'ailleurs

^v — YH^— P(P<^ — oib) —y{a.c —^a)

6v — C[x= è(pa — oib) — c{^c — "(a)

=z— a{a^ -\- b^- -h c^') 4-a(aaH-è^4-CY)

Donc

dl ^:z ak ds — xT ds,

et de même

<^[X =: ^/c <i5 — pT <i5,

c/v =:; cA- ds — ^x ds.

484. 11 résulte de ces formules qu'une courbe est com- : plètement définie lorsqu'on connaîtra :

i'* La loi suivant laquelle la courbure et la torsion varient ; en fonction de l'arc 6' comme variable indépendante;

2*^ Les valeurs de ^^y, JZ, a, b^ c, cl, [i, y, X, [x, v correspondantes à une valeur particulière de s, à la valeur zéro, par exemple.

En effet, les formules précédentes donnent les dérivées, par rapport à 5, des quantités

dx dy dz o -,

en fonction de ces quantités elles-mêmes, de la courbure et de la torsion. En les différentiant, on obtiendra les dérivées secondes, et ainsi de suite. Mais, pour 5 = o, on connaît les valeurs des quantités <2, b, c, a, [3, y, X, [x, v. On aura donc,

pour 5 ^^ o, la valeur de toutes leurs dérivées.

dji^ Connaissant ainsi, pour s --= o, les valeurs de x, a = — ,

-T7 = -TY' • • •? on pourra calculer x par la formule de Maclaurin

^ \^^ J 0 \ ds^ Jq { .2 De même, pour y et z.

485. Deux surfaces sont dites a/?/?//ca6/<?5 l'une sur l'autre si l'on peut établir entre leurs points une correspondance telle que deux courbes correspondantes quelconques aient leurs arcs égaux. • v

Théorème. — Toute surface développable est applicable sur un plan.

Soient, en effet :

S une surface développable;

C son arête de rebroussement;

s l'arc de cette courbe compté à partir d'un de ses points ^

^ =f{s) el-z z= '^(^s) sa courbure et sa torsion.

Un point Q de la surface sera défini si l'on connaît :

i^ La valeur de s correspondante au point de contact P de

APPLICATIONS GÉOîflÉTHIQUES DE LA SÉHIE DE TAYLOR.

la tangente à l'arête de rebroussement qui passe par le point Q ;

2^ La longueur PQ = l.

Une équation l=zW(s) entre ces deux coordonnées représentera une courbe K tracée sur S.

Proposons-nous de trouver la difïerenLÎelle de l'arc t de cette courbe {Jlg- 20).

Fis. 20.

Soient Q, Q' deux points infiniment voisins aj'ant respectivement pour coordonnées 5, / et 5 -[- A5, / -j- A/^; l'arc QQ' = Aa-, dont on cherche la valeur principale, pourra être remplacé par sa corde QQ'. Celle-ci sera tout au plus de l'ordre de As. En effet, la distance ô de la droite P'Q' au point P infiniment voisin étant du deuxième ordre par rapport à A.ç, l'angle C3 des deux tangentes étant du premier ordre, et enfin PQ = / étant fini, la plus courte distance de QàP'O' sera du premier ordre, et a fortiori la distance QQ' sera du premier ordre au plus.

Gela posé, par le point P menons une parallèle à P^Q'. Soient P'', Q'^ les projections de P', Q' sur cette droite. On aura P'P'^ = Q.'Q!' =^ ^- Ces quantités sont donc du deuxième ordre. A fortioi^i^ la différence entre QQ' et QQ'' sera du deuxième ordre au moins, et l'on pourra substituer QQ^^ à QQ^ pour le calcul de sa valeur principale.

Or, dans le triangle PQQ", l'angle en P est sensiblement

égal à k^s. Le côté PQ est égal à /. Eafm le côté PQ'' est égal à PP^^ 1- P'^ Q'' = VP' H- P' Q'.

Mais P'Q' = / + A/; d'autre part, PP'^ est la projection de PP', quantité infiniment petite du premier ordre, et dont l'angle avec PQ' est infiniment petit. On aura donc, en négligeant le second ordre,