PQ" — / 4- A/ -}- A

Cela posé, la formule trouvée pour Tare d'une courbe en coordonnées polaires donnera

d(j = val. princ. QQ'^^ val. princ. s/l'-k'^^s- -t- (A/ h- A^)'

^zds\/l'k'-i-[W'{s) 4-1]-.

On voit que cette expression est indépendante de la torsion T.

Gela posé, construisons dans un plan une courbe Ci dont la courbure en fonction de l'arc soit la même que pour la courbe G. Au point de la surface développable qui a pour coordonnées s et /, faisons correspondre dans le plan un point construit de la même manière, en prenant sur la courbe Gi, à partir de l'origine des arcs, un arc égal à .s, menant la tangente au point obtenu et prenant une longueur / sur cette tangente. A la courbe K correspondra une courbe K, et l'arc a•^ de cette courbe, considéré comme fonction de 5, aura la même différentielle, d'après ce C{ui précède, que l'arc c.

Les arcs a- et a-j, ayant même différentielle, ne pourront différer que par une constante. Si, d'ailleurs, on prend pour origines respectives des arcs sur les courbes R et K, des points correspondants, a- et a-, s'annuleront en même temps, et par suite seront toujours égaux.

Réciproquement, toute surface applicable sur un plan est développable.

Soient en effet {x, y^ z)el[x -f- A^,y -|- ly^ z H- Xz) deux

points de la surface infiniment voisins l'un de l'antre; (a, ^3) et (a H- Aa, (3 + Ap) les deux points correspondants du pian. La longueur d'un arc de courbe infiniment petit, joignant les deux premiers points, devant être égale à celle de l'arc de courbe plane qui joint leurs correspondants, les valeurs principales de ces deux arcs

\ldx^ -\- dy^ -h dz"- et sj d:/?' + d^'^

devront être égales. Si donc on prend pour variables indépendantes a et p, x^ y, z seront des fonctions de ces paramètres, satisfaisant identiquement à la relation

da.^ 4- d^- -=z dx'' -\- df- 4- dz'- ^-z ( 7^ ^« + tI «^?

On en déduit les équations de condition

dx âx ôy dv ôz ôz

'd^ âf^ di 'ô^ '^'' Tx 'd^ "^ ^'

et en dérivant par rapport à a et (3

V^ âx d^' X V^ dx â^x

V^ âx d'x • V^ dx d'^x

V^ f dx d^x dx d^x\ '^ dx d^x

^~2j\~à^ d^ "^ Jf ^/ Zi W ~à^ dx d'x

les sommations s'étendant aux trois coordonnées x, y, z. On déduit immédiatement de ces équations que

476 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE iV.

sont proportionnels à

dy dy dy

et à

ôx ôy ôz Il existe donc deux relations entre -r— ? -r--? -r" ^t deux

aa O'j. ooL

dx dy dz ^ . . ,, ,

autres entre -j^-> -^' ? -^' Jin y joignant i équation

✠âx dy dy âz ôz

dhT ?3 "^ ^ ^^ '^" ^ ^ ~ ^'

on voit que ces six dérivées partielles sont fonction d'une seule d'entre elles.

On a, d'ailleurs, en désignant par p ei q les dérivées partielles de z considéré comme fonction de x^ y,

dz dz âx dz dy dx à y

ây. âx ôv. ây âoL -^ âcc ^ ôol^

dz dz dx dz dy dx dy

Ces deux équations déterminent p et q en fonction d'une même quantité; il existera donc entre ces deux dérivées une relation de la forme

et l'on aura

dz :=! p dx -^ q dy zzz p dx -^ f {p) dy.

Pour trouver les solutions de cette équation, posons

z~px~\-f{p)y^u.

Il viendra, en différentiant,

dz~p dx ~f{p)dy^[x +/' ( p)y] dp -+- du ~s o,

OU, en tenant compte de l'équation précédente,

Cette relation montre que ii doit être une fonction de p. Soit u = ?(/?); l'équation deviendra

On peut y satisfaire : i° En posant dp = o, auquel cas p sera une constante c; on aura alors

^ = c^4-/(c)/4-cp(c),

équation d'un plan.