En posant

^-^f'{p)y-^?'ip)'=o.

Cette équation, jointe à

z —px -{-f{p)y -f- cp(/)) r=:o,

représentera une surface développable, enveloppe des plans qui constituent la première solution.

486. Proposons-nous d'appliquer les formules trouvées dans cette section à Vhélice.

On nomme ainsi la courbe engendrée par un point qui se meut sur un cylindre droit à base circulaire de telle sorte que sa distance au plan de base soit constamment proportionnelle à l'angle dont a tourné sa projection.

Soient t cet angle, m le rajon du cercle de base. La courbe sera évidemment définie par les équations

aiz=zfncost, fzzzmsint, z -— nt.

On en déduit successivement

^' =r — m sint,

y' = m cost,

a;" =— m cos^,

y" -=: — m sin t,

x'" z=z m s'int,

y'" =: — fUCOSt,

PREMIÈB

k—y' z" — z'y" — mn sin t,

B zizzz' x" — x' z" =: — mn cost,

C=zx'y"-y'x"= m\

ds — \/x"~ 4- /'' + z'^ dt r~ \]m} + II" dt,

I sj m^ n- ~\- ?n^

On voit que la courbure et la torsion sont constantes, ce qui était évident, les divers arcs de la courbe étant superposables les uns aux autres.

Réciproquement, toute courbe dont la courbure et la torsion sont constantes sera une hélice, dont les paramètres m, n seront déterminés par les équations (18) et (19).