VII. — Systèmes de droites

487. Une droite D, passant par un point (a, a, , «2) et dont les cosinus directeurs sont proportionnels à è, ^i, ^2, a, comme on l'a vu, pour équations

b ~~ b, -^ b.^ ' ou, en introduisant une variable auxiliaire t^ (2) X — a-^bt, Y-zai-i-b^t, Z — a,^~^b,J,

ts/b^-{-b'\-^bl étant la distance du point (X, Y, Z) au point (a, a,, a^).

Supposons que les coefficients «, b, . . . dépendent de certains paramètres a, [3, ... . En faisant varier ces paramètres, on obtiendra un système de droites.

S'il n'y a qu'un paramètre a, ces droites formeront une sur/ace réglée dont on obtiendrait l'équation en éliminant a entre les deux équations (i).

S'il y a deux paramètres a, p, on aura une congruence de droites. Par chaque point (^,JK, ^) de l'espace passeront une ou plusieurs droites de la congruence, correspondant aux systèmes de valeurs de a, [i, qui satisfont aux équations

S'il y a trois paramètres a, [3, y, on aura un complexe de droites. Par chaque point (^, y^ z) passeront une infinité de droites du complexe, formant un cône, dont on obtiendra l'équation en éliminant a, [B, v entre les équations (i )

etO).

Enfin, s'il y avait plus de trois paramètres, le système contiendrait toutes les droites possibles, car on pourrait déterminer les paramètres de manière à faire passer la droite par deux points arbitraires {oc^y^ z)^ (^<, J^^, z-i ), ce qui ne donnerait que quatre équations de condition.

Soient D une droite du système, ayant pour équations