X --=: a ^- da -\- {b -\- db )t

Y =r 6?i + <r/a, -f- (/> -h dbi)t, Zzzz a^-i- da^-T- {b -+- db^) t,

en bornant l'approximation au premier ordre et écrivant par suite da^ db^ ... à la place de Aa, A^, ....

480 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE lY.

La position relative de ces deu\ droites dépend de quatre éléments :

I" Leur angle cp. On aura, d'après des formules précédemment trouvées,

^ b-^ -^ b^^ -Y- bl '

en posant, pour abréger,

A =r Z>j db^ — b.2db^, Ai=:zb.2db — b db^,

k,^r::zb db,~b,db.

2" Leur plus courte distance o. Elle a pour valeur

L désignant le déterminant

da b db \

da^ b^ db^ ;; da^ b^ db^ \

3» La position du point où cette plus courte distance vient rencontrer D. La valeur T de la variable t qui correspond à ce point est donnée par la formule

où N désigne le déterminant

A b -+-db da A, b^ 4- db^ da^ A2 ^2 + db.^ da.

ou, plus simplement.

A b da Al ^1 da^

A2 ^2 da^

en négligeant db, db,, db-, par rapport à 1^, 6,, b,.

4*' La direction de cette plus courte distance. On peut la déterminer soit par l'angle à qu'elle forme avec un plan de position connue mené par D, soit d'une manière plus symétrique par ses cosinus directeurs X, X,, ^^2. Cette droite étant perpendiculaire à D et à D<, on aura

(è -h<iZ>)X -+- (èi-i-6/6i)Xi-i- (62-1-^^2)^2—0. On déduit de ces équations

et, comme

i+ii=i.

\/iV

+ Af-i-A^

V/A^+AÎH-A|

On voit par ces formules que T, A, X,, Xo sont des quantités finies; S et cp sont du premier ordre, mais leur rapport

V^+Af + A^

sera une quantité finie, qu'on nomme le paramètre de distribution.

Proposons-nous de déterminer les relations qui existent entre ces éléments T, X, Xi, X2, p. Nous aurons à distinguer trois cas distincts, suivant le nombre des paramètres variables.

P 489. Premier cas : Sur/aces réglées. — On n'a qu'un

seul paramètre a, et si, dans les expressions de T, X, X,, Xo,

/?, on remplace da^ db, . . . par leurs valeurs a' doL, b' doL, ...,

la quantité doi, se trouvant en facteur avec le même degré au

numérateur et au dénominateur, disparaîtra de ces expressions.

La droite E, sur laquelle se mesure la plus courte distance des droites D et D<, étant complètement déterminée par les valeurs de T, \ ).i, X2, on aura ce théorème :

Les générât f-ices d'une surface i^églée infiniment voisines d'une même génératrice D viennent toutes couper perpendiculairement une même droite Fj(au second ordre près).

Le point d'intersection de D avec E se nomme le point central de la génératrice D. Il aura pour coordonnées

jrr=za-\-bT, j^- = «i -h è^ T, z := a^-^ b^T.

Le lieu des points centraux se nomme ligne de striction. On aura ses équations en éliminant a entre les trois équations ci-dessus.