Soit
X =^ a -{- bt, y =z Ui-i- bit, zz^ a^-h b^t
un point de la surface. Ses coordounées sont exprimées, comme on le voit, en fonction des deux paramètres a et t. L'équation générale d'un plan
A>X -H l)i) Y 4- eZ H- (D == o
contient trois paramètres, dont on pourra disposer pour établir un contact du premier ordre avec la surface. Il faudra pour cela satisfaire aux trois équations
0 — W{t,oL)~X{a -\- bt) 4-\)î)(<2i4- ^lO -H ^(^2-H^2 0^-<J<^j Ot
o = ^ ^A>{a'-\-b't)-\- ail « -h b\ ^) 4- e(«; -H 6; o-
On en déduira
o=:=il.(X — rt — bt)-\-^S^>{Y — ai — bit)-\-B{Z—a.^ — b^t),
et, en éliminant X, ij'o, G, on aura l'équation du plan tangent sous la forme
— a — bt Y — «1 — bit Z — «2 — ^2^ b bi bi
Ce plan contient la génératrice. En effet, un point quelconque de cette génératrice a ses coordonnées de la forme
a -^ btx, a^-^ biti, a^-h b^t^.
Substituant ces valeurs des coordonnées dans l'équation du plan tangent, les deux premières lignes du déterminant deviennent identiques, sauf le facteur commun ^, — t.
Mais la direction de ce plan tangent variera en général avec la position du point de contact (^, y, z) sur la génératrice. On voit, en effet, que l'équation du plan tangent dépend de t.
491. Pour déterminer simplement la loi de cette variation, nous admettrons que nous ajons choisi pour axe des z la génératrice considérée D, et pour axe des j^ la droite E qui lui correspond.
On aura, pour tous les points de D,
Donc, pour cette génératrice, a, b, a, , 6, seront égaux à zéro. D'ailleurs rien n'empêche de prendre pour variable indépendante, à la place de t, la fonction linéaire ^2+ 62 /. On peut donc supposer qu'on a constamment
«2=0, ^2 = J, a'^=zb'^ = o.
Cela posé, la génératrice D aura pour équations
Une génératrice infiniment voisine aura pour équations
x^rzda -^ tdb ^^da -^-zdb^ y =: t/^i-f- tdb^ zzz da^-^ zdb^.
Mais, par définition, cette génératrice rencontre l'axe desy à une distance o de l'origine; on aura donc
da ■=. o, dax~= ô.
De plus, elle est perpendiculaire à cet axe et fait un angle cp avec l'axe des z. On aura donc
<:/èi=:o, <ic> = tangcp
en négligeant la différence entre la tangente et l'arc. On aura, par suite,
da
da^
db
b\ rr.:
db, dl.
dx
