TZ G

Substituons ces valeurs et celles de «, a,, a^, b^ b^, b^, «[,, b'!,, dans l'équation du plan tangent; elle deviendra

dx dx.

L'angle V que le plan tangent forme avec le plan des j sera donné par la formule

tangV =

APPLICATIONS GÉOîtfÉTRIQUES DE LA SÉRIE DE TAYLOR. 4^5

Cet angle, en général variable avec :;, sera constant dans les deux hypothèses suivantes :

p =z œ, d'où 0 =:= o, p ^=zo, d'où ç — G.

492. Il est intéressant de rechercher quelle est la nature particulière des surfaces réglées pour lesquelles une de ces deux conditions o ^ o ou 8 = o est constamment satisfaite.

Théorème. — L'équation 0 = 0 exprime que la surface réglée est développât le.

Cherchons en effet à quelles conditions la surface sera développable. Soient œ^ y, z les coordonnées du point où là génératrice touche l'arête de rebroussement, 9 la valeur correspondante de t. On aura

.r, jv', ^ et 9 variant en général d'une génératrice à l'autre, et par suite étant des fonctions de a.

Ces équations^ différentiées par rapport à a, donneront

dx ^z^ da -\- b «fô -I- 0 db^ dy -s^ da^ -h ^1 «^6 -h 6 db^.

dz -=. da^ + ^^ <^6 4- 6 db^^.

Mais, la génératrice étant tangente à Tarete de rebroussement, ses cosinus directeurs seront proportionnels à dx ^ dy , dz\ ils le sont d'ailleurs k b^ b^^ 60; on aura donc, en désigant par [x un facteur convenable,

dx r— ]x h, dy z:^ \y. b^^ dz -zzz [xb^.

Substituant ces valeurs dans les équations précédentes, il viendra

o = da -^ b {d^ — ;x) \~ 0 db,

o .— da, -+- ^1 (<:/0 — [j.) -+- 0 db^, o = da, -\- b^idi) — [j.) -f- 0 db^.

Ces trois équations entre les deux quantités 0 et c/O — fx

ne seront pas compatibles en général, mais elles le deviendront si le déterminant

da b db da^ b^ db^ da^ b-i db^__

s'annule. Or ce déterminant est précisément L, numérateur de 5.

Donc 0 sera nul, à moins qu'on n'ait A = A,r=r: Ao^ o, auquel cas le dénominateur s'annulerait également.

493. Les trois équations A = A) == Ao = o équivalent à l'équation unique cp ^ o. Si celle-ci est satisfaite, la surf ace sera un cylindre. Car, deux génératrices infiniment voisines ne formant qu'un angle du deuxième ordre, les cosinus directeurs de la génératrice, considérés comme fonctions de a, n'éprouveront qu'une variation du second ordre par rapport à l'accroissement de a. Donc leurs différentielles sont nulles; donc ils sont constants.

494. Deuxième cas : Congruences. — On a dans ce cas deux paramètres variables a, ^ et, par suite,

-, àa j da ,^ daz=z -— d% H- -r^ <iB

,, db , ôb ,^ db — -^ d:i. -\- -- d^, doc d^

Substituant ces valeurs dans les expressions de )v, )., , Ao, T, /;, on voit que, pour une génératrice donnée D, correspondant à un système déterminé de valeurs de a et de ^,

ces cinq quantités ne dépendent que du rapport -—■• Il doit

donc exister entre elles quatre relations indépendantes du choix de la génératrice Di.

Proposons-nous de trouver ces relations.