Nous remarquerons tout d'abord que la quantité

7^2|> ^2 | A'^, qui figure au dénominateur des expressions \ Xi, ).2) T, p, ne pourra, en général, s'annuler pour aucune

valeur de -/• En effet, il faudrait pour cela qu'on eût simul-

tanément

d'où

db ~b

dA ■ b, "

Ao= o,

dh^

ou, en appelant p. la valeur commune de ces rapports. dh , db

db,

doL d<x

db^ -T— da

db.

d^ — bi [X,

db = ^2 1^)

équations qui ne peuvent subsister simultanément que si l'on a

db db

db, db,

doi d?>

db.2 dbz

doL d^

C'est là une équation entre a et j3, qui est nécessaire pour que A2 + A^ H- A^ puisse s'annuler.

Nous pourrons di^^oiev génératrices singulières les génératrices de la congruence pour lesquelles l'équation (4) est satisfaite. Elles forment une surface réglée, dont on aura l'équation en éliminant a, j^, t entre l'équation (4) et les équations

~\~ bt, yz=:a,-h bit, z z= a^-h b^ t. 496. Supposons que D soit une génératrice ordinaire.

T étant exprimé par une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont homogènes et de second degré en <ia, c/j^, et dont le dénominateur ne peut s'annuler, aura un maximum Tq et un minimum T, toujours réels; on pourra les

obtenir, ainsi que les valeurs correspondantes de —j--, par la

méthode exposée au n° 407. Substituant ces valeurs à la place de t dans les équations (5), on aura les coordonnées des points correspondants de D, exprimées en fonctions de a, |B. Ces points se nomment points principaux. On nomme plans principaux ceux qui passent par les lignes de plus courte distance correspondant à ces points et par la droite D.

Eliminant a et [3 entre les équations qui donnent les coordonnées d'un point principal, on obtiendra le lieu de ce point. On obtiendra de même le lieu du second point principal. Les deux surfaces principales ainsi obtenues pourront constituer, soit deux surfaces distinctes, soit plus habituellement deux nappes d'une seule et même surface.

497. Passons à l'examen de l'expression qui donne le paramètre de distribution p. Le déterminant L qui figure au

numérateur, étant du second degré en -j--, s'annulera pour

deu\ valeurs réelles ou imaginaires de ce rapport. A chacune de ces deux valeurs correspondent une valeur de T et, par suite, un point de D.

Les deux points ainsi obtenus se nomment foyers. Ils pourront être réels ou imaginaires. Les lieux de ces points [surfaces focales) se détermineront comme les surfaces principales.